Номер 2, страница 64 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Ключникова, Комиссарова

Параграф 18. Умножение и деление степеней с одинаковыми показателями. Глава 4. Степень с натуральным показателем и её свойства - номер 2, страница 64.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Данное равенство $a^n b^n = (ab)^n$ основано на свойстве умножения степеней с одинаковыми показателями. По определению степени, $a^n$ — это произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $a$, а $b^n$ — это произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $b$. Их произведение $a^n b^n$ можно записать как $(\underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ раз}}) \cdot (\underbrace{b \cdot b \cdot \ldots \cdot b}_{n \text{ раз}})$. Используя переместительное и сочетательное свойства умножения, мы можем сгруппировать множители парами: $\underbrace{(a \cdot b) \cdot (a \cdot b) \cdot \ldots \cdot (a \cdot b)}_{n \text{ раз}}$. Это выражение по определению равно $(ab)^n$. Таким образом, чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями, достаточно перемножить их основания, а показатель степени оставить без изменений.

Ответ: $(ab)^n$

б) Это равенство $\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n$ выражает свойство деления степеней с одинаковыми показателями. Выражение $\frac{a^n}{b^n}$ представляет собой частное от деления произведения $n$ множителей, равных $a$, на произведение $n$ множителей, равных $b$: $\frac{\overbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}^{n \text{ раз}}}{\underbrace{b \cdot b \cdot \ldots \cdot b}_{n \text{ раз}}}$. Эту дробь можно представить как произведение $n$ дробей: $\underbrace{\frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} \cdot \ldots \cdot \frac{a}{b}}_{n \text{ раз}}$. По определению степени, такое произведение равно $\left(\frac{a}{b}\right)^n$. Следовательно, чтобы разделить одну степень на другую с тем же показателем, можно разделить их основания, а показатель степени оставить прежним. Условие $b \neq 0$ необходимо, так как деление на ноль не определено.

Ответ: $\left(\frac{a}{b}\right)^n$

в) Данное равенство $(ab)^n = a^n b^n$ — это свойство возведения произведения в степень. Оно является обратным к свойству из пункта а). Чтобы возвести произведение $(ab)$ в степень $n$, нужно это произведение умножить само на себя $n$ раз: $(ab)^n = \underbrace{(ab) \cdot (ab) \cdot \ldots \cdot (ab)}_{n \text{ раз}}$. Раскрывая скобки и перегруппировывая множители в силу их коммутативности и ассоциативности, получаем: $\underbrace{(a \cdot a \cdot \ldots \cdot a)}_{n \text{ раз}} \cdot \underbrace{(b \cdot b \cdot \ldots \cdot b)}_{n \text{ раз}}$. Первое произведение равно $a^n$, а второе — $b^n$. Таким образом, чтобы возвести произведение в степень, нужно каждый множитель возвести в эту степень и результаты перемножить.

Ответ: $a^n b^n$

г) Это равенство $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$ — свойство возведения частного (или дроби) в степень, обратное к свойству из пункта б). Чтобы возвести дробь $\frac{a}{b}$ в степень $n$, нужно эту дробь умножить саму на себя $n$ раз: $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \underbrace{\frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} \cdot \ldots \cdot \frac{a}{b}}_{n \text{ раз}}$. По правилу умножения дробей, мы перемножаем все числители и все знаменатели: $\frac{\overbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}^{n \text{ раз}}}{\underbrace{b \cdot b \cdot \ldots \cdot b}_{n \text{ раз}}}$. В результате получаем дробь $\frac{a^n}{b^n}$. Таким образом, чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень и числитель, и знаменатель. Условие $b \neq 0$ гарантирует, что знаменатель не обращается в ноль.

Ответ: $\frac{a^n}{b^n}$