Номер 10, страница 78 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Ключникова, Комиссарова

Параграф 22. Умножение одночленов. Возведение одночленов в натуральную степень. Глава 5. Одночлены. Арифметические операции над одночленами - номер 10, страница 78.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы найти пропущенные значения, воспользуемся свойством возведения одночлена в степень: $(A \cdot B)^n = A^n \cdot B^n$ и $(X^m)^n = X^{m \cdot n}$. Это означает, что каждый множитель в скобках возводится в указанную степень, а показатели степеней перемножаются.

Исходное уравнение: $(\underline{\hspace{0.5cm}} x^{\underline{\hspace{0.5cm}}} y z^{\underline{\hspace{0.5cm}}})^2 = 81x^4 y^{\underline{\hspace{0.5cm}}} z^8$.

Пусть одночлен в скобках имеет вид $C x^a y^1 z^c$. Возведем его в квадрат:

$(C x^a y z^c)^2 = C^2 (x^a)^2 y^2 (z^c)^2 = C^2 x^{2a} y^2 z^{2c}$.

Теперь сравним полученное выражение с правой частью равенства $81x^4 y^{\underline{\hspace{0.5cm}}} z^8$:

• Сравним коэффициенты: $C^2 = 81$. Отсюда находим $C = \sqrt{81} = 9$.
• Сравним степени при $x$: $2a = 4$. Отсюда $a = 4/2 = 2$.
• Сравним степени при $y$: на левой стороне степень $y$ стала равна 2, значит, пропущенная степень $y$ в правой части также равна 2.
• Сравним степени при $z$: $2c = 8$. Отсюда $c = 8/2 = 4$.

Таким образом, мы заполнили все пропуски.

Ответ: $(9x^2yz^4)^2 = 81x^4y^2z^8$.

б) Исходное уравнение: $(\underline{\hspace{0.5cm}} x^{\underline{\hspace{0.5cm}}} y^{\underline{\hspace{0.5cm}}} z^{\underline{\hspace{0.5cm}}})^3 = 125x^6 y^9 z^{12}$.

Пусть одночлен в скобках имеет вид $C x^a y^b z^c$. Возведем его в куб:

$(C x^a y^b z^c)^3 = C^3 (x^a)^3 (y^b)^3 (z^c)^3 = C^3 x^{3a} y^{3b} z^{3c}$.

Сравним полученное выражение с правой частью $125x^6 y^9 z^{12}$:

• Для коэффициентов: $C^3 = 125$. Отсюда $C = \sqrt[3]{125} = 5$.
• Для переменной $x$: $3a = 6$. Отсюда $a = 6/3 = 2$.
• Для переменной $y$: $3b = 9$. Отсюда $b = 9/3 = 3$.
• Для переменной $z$: $3c = 12$. Отсюда $c = 12/3 = 4$.

Заполняем пропуски найденными значениями.

Ответ: $(5x^2y^3z^4)^3 = 125x^6y^9z^{12}$.

в) Исходное уравнение: $(\underline{\hspace{0.5cm}} x^{\underline{\hspace{0.5cm}}} y^7 z^2)^4 = 16x^{12} y^{\underline{\hspace{0.5cm}}} z^{\underline{\hspace{0.5cm}}}$.

Пусть одночлен в скобках имеет вид $C x^a y^7 z^2$. Возведем его в четвертую степень:

$(C x^a y^7 z^2)^4 = C^4 (x^a)^4 (y^7)^4 (z^2)^4 = C^4 x^{4a} y^{7 \cdot 4} z^{2 \cdot 4} = C^4 x^{4a} y^{28} z^8$.

Сравним это с правой частью $16x^{12} y^{\underline{\hspace{0.5cm}}} z^{\underline{\hspace{0.5cm}}}$:

• Для коэффициентов: $C^4 = 16$. Отсюда $C = \sqrt[4]{16} = 2$.
• Для переменной $x$: $4a = 12$. Отсюда $a = 12/4 = 3$.
• Для переменной $y$: степень $y$ в результате равна 28, значит, пропущенная степень в правой части равна 28.
• Для переменной $z$: степень $z$ в результате равна 8, значит, пропущенная степень в правой части равна 8.

Подставляем найденные значения в пропуски.

Ответ: $(2x^3y^7z^2)^4 = 16x^{12}y^{28}z^8$.

г) Исходное уравнение: $(5x^2 y^{\underline{\hspace{0.5cm}}} z^{\underline{\hspace{0.5cm}}})^{\underline{\hspace{0.5cm}}} = 25x^4 y^8 z^6$.

Пусть недостающие показатели и степень равны $b, c$ и $n$ соответственно: $(5x^2 y^b z^c)^n$.

Раскроем скобки: $(5x^2 y^b z^c)^n = 5^n (x^2)^n (y^b)^n (z^c)^n = 5^n x^{2n} y^{bn} z^{cn}$.

Сравним результат с правой частью $25x^4 y^8 z^6$:

• Сначала найдем степень $n$, сравнив коэффициенты: $5^n = 25$. Так как $25 = 5^2$, то $n = 2$.
• Теперь, зная $n=2$, найдем остальные неизвестные. Для $x$ проверка: $2n = 2 \cdot 2 = 4$. Совпадает с $x^4$.
• Для переменной $y$: $bn = 8$. Подставляем $n=2$: $b \cdot 2 = 8$, отсюда $b = 8/2 = 4$.
• Для переменной $z$: $cn = 6$. Подставляем $n=2$: $c \cdot 2 = 6$, отсюда $c = 6/2 = 3$.

Таким образом, все пропуски заполнены.

Ответ: $(5x^2y^4z^3)^2 = 25x^4y^8z^6$.