Номер 8, страница 80 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Ключникова, Комиссарова

Параграф 23. Деление одночлена на одночлен. Глава 5. Одночлены. Арифметические операции над одночленами - номер 8, страница 80.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения этой задачи мы будем использовать правила деления одночленов. При делении одночленов их коэффициенты делятся, а показатели степеней одинаковых переменных вычитаются: $ (ax^m y^n) : (bx^k y^l) = (\frac{a}{b}) x^{m-k} y^{n-l} $.

а) Исходное равенство: $ 48p^8q^9z^7 : \underline{\hspace{1cm}} p^2q^{\underline{\hspace{0.5cm}}}z^5 = 4p^{\underline{\hspace{0.5cm}}}q^7z^2 $.

Обозначим неизвестный коэффициент в делителе как $A$, неизвестный показатель степени $q$ в делителе как $B$, и неизвестный показатель степени $p$ в частном как $C$. Получим уравнение:

$ 48p^8q^9z^7 : (A p^2q^B z^5) = 4p^C q^7z^2 $

1. Найдем коэффициент $A$:
Коэффициент частного получается делением коэффициента делимого на коэффициент делителя. $ 48 : A = 4 $
$ A = 48 / 4 = 12 $.

2. Найдем показатель степени $C$ переменной $p$:
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются. $ p^8 : p^2 = p^{8-2} = p^6 $. Следовательно, $ p^C = p^6 $, откуда $ C=6 $.

3. Найдем показатель степени $B$ переменной $q$:
$ q^9 : q^B = q^7 $
$ 9 - B = 7 $
$ B = 9 - 7 = 2 $.

4. Проверим по переменной $z$:
$ z^7 : z^5 = z^{7-5} = z^2 $. Результат совпадает с данным в частном, значит, все найдено верно.

Заполняем пропуски: вместо первого пропуска ставим 12, вместо второго — 2, вместо третьего — 6.

Ответ: $ 48p^8q^9z^7 : 12p^2q^2z^5 = 4p^6q^7z^2 $.

б) Исходное равенство: $ 8a^{12}\underline{\hspace{1cm}}c^6 : 6\underline{\hspace{1cm}}b^4\underline{\hspace{0.5cm}}^5 = \underline{\hspace{0.5cm}}a^7\underline{\hspace{1cm}}c^4 $.

Запишем равенство, подставив переменные в пропуски, предполагая алфавитный порядок $a, b, c$:

$ 8a^{12}b^A c^6 : 6a^B b^4 c^5 = E a^7 b^F c^4 $

Проверим соответствие показателей степеней для переменной $c$. В делимом степень $c$ равна 6, в делителе (судя по записи $\underline{\hspace{0.5cm}}^5$) — 5, а в частном — 4. По правилу деления степеней должно быть $ c^6 : c^5 = c^{6-5} = c^1 $. Но в частном стоит $c^4$. Так как $c^1 \neq c^4$, в условии задачи, по-видимому, есть опечатка. Чтобы равенство было верным, показатель степени $c$ в делителе должен быть равен $6 - 4 = 2$. Будем считать, что в записи $\underline{\hspace{0.5cm}}^5$ пятерка является опечаткой, и на самом деле там должно быть $c^2$.

Также обратим внимание на коэффициенты. При делении $8$ на $6$ получается дробное число $4/3$. В таких заданиях чаще всего предполагаются целочисленные ответы. Вероятно, коэффициент $6$ в делителе также является опечаткой. Предположим, что он должен быть $2$, чтобы в частном получился целый коэффициент $8/2 = 4$.

С учетом этих исправлений, равенство принимает вид:

$ 8a^{12}b^A c^6 : 2a^B b^4 c^2 = 4a^7 b^F c^4 $

1. Найдем показатель $B$ переменной $a$:
$ a^{12} : a^B = a^7 $
$ 12 - B = 7 \Rightarrow B = 5 $.

2. Найдем показатели $A$ и $F$ для переменной $b$:
$ b^A : b^4 = b^F $
$ A - 4 = F $.
Это уравнение с двумя неизвестными. Чтобы решение было однозначным, выберем простейшие натуральные значения. Пусть $F=1$. Тогда $A = 1+4=5$. Это позволит заполнить пропуски и избежать нулевых или отрицательных степеней.

Заполняем пропуски: в делимом `b⁵`, в делителе `a⁵` и `c²`, в частном — коэффициент `4` и `b`.

Ответ: $ 8a^{12}b^5c^6 : 2a^5b^4c^2 = 4a^7bc^4 $.

в) Исходное равенство: $ \underline{\hspace{0.5cm}}m^{\underline{\hspace{0.5cm}}}n^8k^{\underline{\hspace{0.5cm}}} : 7\underline{\hspace{0.5cm}}\underline{\hspace{0.5cm}}^6k^4 = 8m^2\underline{\hspace{0.5cm}}^5k^{12} $.

Запишем равенство с переменными в пропусках, предполагая алфавитный порядок $k, m, n$. Пропуски $\underline{\hspace{0.5cm}}^6$ и $\underline{\hspace{0.5cm}}^5$, скорее всего, относятся к переменной $n$.

$ A m^B n^8 k^C : 7m^D n^6 k^4 = 8m^2 n^5 k^{12} $

Проверим показатели степеней для переменной $n$. В делимом степень 8, в делителе 6, в частном 5. По правилу деления $ n^8 : n^6 = n^{8-6} = n^2 $. Но в частном стоит $n^5$. Так как $n^2 \neq n^5$, здесь также имеется опечатка. Исправим показатель степени $n$ в частном с 5 на 2.

Теперь будем работать с исправленным равенством:

$ A m^B n^8 k^C : 7m^D n^6 k^4 = 8m^2 n^2 k^{12} $

Чтобы найти делимое, умножим частное на делитель: $ \text{Делимое} = \text{Частное} \times \text{Делитель} $.

$ (8m^2 n^2 k^{12}) \times (7m^D n^6 k^4) = A m^B n^8 k^C $

1. Найдем коэффициент $A$:
$ A = 8 \times 7 = 56 $.

2. Найдем показатель $C$ переменной $k$:
$ k^{12} \times k^4 = k^{12+4} = k^{16} $. Отсюда $ C=16 $.

3. Проверим по переменной $n$:
$ n^2 \times n^6 = n^{2+6} = n^8 $. Совпадает с делимым, значит, наше исправление было верным.

4. Найдем показатели $B$ и $D$ для переменной $m$:
$ m^2 \times m^D = m^B \Rightarrow 2 + D = B $.
Снова получили уравнение с двумя неизвестными. Выберем простейшие натуральные значения. Пусть $D=1$. Тогда $B = 2+1 = 3$.

Заполняем пропуски: в делимом — `56`, `m³` и `k¹⁶`; в делителе — `m` и `n⁶`; в частном (с учетом исправления) — `n²`.

Ответ: $ 56m^3n^8k^{16} : 7mn^6k^4 = 8m^2n^2k^{12} $.