Номер 10, страница 85 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Ключникова, Комиссарова

Параграф 24. Многочлены. Основные понятия. Глава 6. Многочлены. Арифметические операции над многочленами - номер 10, страница 85.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Чтобы определить знак многочлена при всех значениях входящих в него букв, проанализируем каждое выражение.

$x^2 + x^4 + 5$
Выражения $x^2$ и $x^4$ представляют собой переменные в четной степени, поэтому их значения всегда неотрицательны, то есть $x^2 \ge 0$ и $x^4 \ge 0$ при любом значении $x$.
Сумма двух неотрицательных слагаемых также неотрицательна: $x^2 + x^4 \ge 0$.
Прибавляя к этому неотрицательному выражению положительное число 5, мы получаем сумму, которая всегда будет больше или равна 5:
$x^2 + x^4 + 5 \ge 0 + 5$, следовательно, $x^2 + x^4 + 5 \ge 5$.
Так как $5 > 0$, то многочлен всегда положителен.
Ответ: многочлен положителен при всех значениях входящих в него букв.

$-x^2 - 4x^4 - 7$
Вынесем знак минус за скобки: $-(x^2 + 4x^4 + 7)$.
Рассмотрим выражение в скобках: $x^2 + 4x^4 + 7$.
Как и в предыдущем случае, $x^2 \ge 0$ и $x^4 \ge 0$. Так как $4 > 0$, то и $4x^4 \ge 0$.
Сумма $x^2 + 4x^4 \ge 0$.
Прибавляя положительное число 7, получаем: $x^2 + 4x^4 + 7 \ge 0 + 7$, то есть $x^2 + 4x^4 + 7 \ge 7$.
Выражение в скобках всегда положительно. Умножая его на $-1$, мы получаем выражение, которое всегда будет отрицательным: $-(x^2 + 4x^4 + 7) \le -7$.
Так как $-7 < 0$, то многочлен всегда отрицателен.
Ответ: многочлен отрицателен при всех значениях входящих в него букв.

$a^2 + b^2 + 1$
Выражения $a^2$ и $b^2$ являются квадратами, поэтому они неотрицательны при любых значениях $a$ и $b$: $a^2 \ge 0$ и $b^2 \ge 0$.
Их сумма также неотрицательна: $a^2 + b^2 \ge 0$.
Прибавляя 1, получаем: $a^2 + b^2 + 1 \ge 0 + 1$, то есть $a^2 + b^2 + 1 \ge 1$.
Так как $1 > 0$, многочлен всегда положителен.
Ответ: многочлен положителен при всех значениях входящих в него букв.

$-n^2 - m^2 - n^4 - 13$
Вынесем минус за скобки: $-(n^2 + m^2 + n^4 + 13)$.
Анализируем выражение в скобках: $n^2 + m^2 + n^4 + 13$.
Слагаемые $n^2$, $m^2$ и $n^4$ неотрицательны при любых значениях $n$ и $m$.
Их сумма $n^2 + m^2 + n^4 \ge 0$.
Прибавляя 13, получаем: $n^2 + m^2 + n^4 + 13 \ge 0 + 13$, то есть $n^2 + m^2 + n^4 + 13 \ge 13$.
Выражение в скобках всегда положительно. Умножение на $-1$ делает весь многочлен отрицательным: $-(n^2 + m^2 + n^4 + 13) \le -13$.
Так как $-13 < 0$, многочлен всегда отрицателен.
Ответ: многочлен отрицателен при всех значениях входящих в него букв.

$(a + b)^2 + 15$
Выражение $(a + b)^2$ является квадратом суммы, поэтому оно всегда неотрицательно: $(a + b)^2 \ge 0$ при любых значениях $a$ и $b$.
Прибавляя к неотрицательному выражению число 15, получаем: $(a + b)^2 + 15 \ge 0 + 15$, то есть $(a + b)^2 + 15 \ge 15$.
Так как $15 > 0$, многочлен всегда положителен.
Ответ: многочлен положителен при всех значениях входящих в него букв.

$-(a + b)^2 - 10$
Выражение $(a + b)^2$ всегда неотрицательно: $(a + b)^2 \ge 0$.
Следовательно, выражение $-(a + b)^2$ всегда неположительно: $-(a + b)^2 \le 0$.
Вычитая из неположительного выражения число 10, мы получаем сумму, которая всегда будет меньше или равна -10:
$-(a + b)^2 - 10 \le 0 - 10$, то есть $-(a + b)^2 - 10 \le -10$.
Так как $-10 < 0$, многочлен всегда отрицателен.
Ответ: многочлен отрицателен при всех значениях входящих в него букв.

$-(x^2 + y^2 + x^2y^2) - 1$
Рассмотрим выражение в скобках: $x^2 + y^2 + x^2y^2$.
Слагаемые $x^2$, $y^2$ и $x^2y^2 = (xy)^2$ являются неотрицательными при любых значениях $x$ и $y$.
Их сумма также неотрицательна: $x^2 + y^2 + x^2y^2 \ge 0$.
Следовательно, выражение $-(x^2 + y^2 + x^2y^2)$ неположительно: $-(x^2 + y^2 + x^2y^2) \le 0$.
Вычитая 1, получаем: $-(x^2 + y^2 + x^2y^2) - 1 \le 0 - 1$, то есть $-(x^2 + y^2 + x^2y^2) - 1 \le -1$.
Так как $-1 < 0$, многочлен всегда отрицателен.
Ответ: многочлен отрицателен при всех значениях входящих в него букв.