Номер 1, страница 85 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Ключникова, Комиссарова

Параграф 25. Сложение и вычитание многочленов. Глава 6. Многочлены. Арифметические операции над многочленами - номер 1, страница 85.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Результатом сложения и вычитания многочленов является многочлен.

Объяснение:
Многочлен — это алгебраическая сумма одночленов. Когда мы складываем или вычитаем многочлены, мы по сути объединяем их одночлены и приводим подобные слагаемые. Результатом этих действий всегда является выражение, которое также представляет собой сумму одночленов, то есть новый многочлен.
Пример сложения:
Пусть даны два многочлена: $P_1(x) = 3x^2 + 2x - 1$ и $P_2(x) = x^2 - 5x + 7$.
Их сумма: $P_1(x) + P_2(x) = (3x^2 + 2x - 1) + (x^2 - 5x + 7) = 3x^2 + 2x - 1 + x^2 - 5x + 7 = (3+1)x^2 + (2-5)x + (-1+7) = 4x^2 - 3x + 6$.
Результат $4x^2 - 3x + 6$ является многочленом.
Пример вычитания:
Их разность: $P_1(x) - P_2(x) = (3x^2 + 2x - 1) - (x^2 - 5x + 7) = 3x^2 + 2x - 1 - x^2 + 5x - 7 = (3-1)x^2 + (2+5)x + (-1-7) = 2x^2 + 7x - 8$.
Результат $2x^2 + 7x - 8$ также является многочленом.

Ответ: многочлен.

2) Чтобы записать алгебраическую сумму многочленов, надо раскрыть скобки и привести подобные члены.

Объяснение:
Это стандартный алгоритм упрощения выражений, содержащих сумму или разность многочленов.
1. Раскрытие скобок: Первый шаг — избавиться от скобок, в которые заключены многочлены. Правила раскрытия зависят от знака, стоящего перед скобкой.
2. Приведение подобных членов: После раскрытия скобок получается длинная последовательность одночленов. Следующий шаг — найти члены с одинаковой буквенной частью (подобные члены) и сложить или вычесть их коэффициенты.
Пример: Упростить выражение $(5a^2 - ab) + (3ab - b^2) - (2a^2 + ab)$.
1. Раскрываем скобки: $5a^2 - ab + 3ab - b^2 - 2a^2 - ab$.
2. Группируем и приводим подобные члены: $(5a^2 - 2a^2) + (-ab + 3ab - ab) - b^2 = 3a^2 + ab - b^2$.

Ответ: раскрыть скобки, привести.

3) Если перед скобкой стоит знак «+», то при раскрытии скобок надо знаки, стоящие перед слагаемыми в скобках, оставить без изменения, если же стоит знак «-», то все знаки перед слагаемыми в скобках надо изменить на противоположные.

Объяснение:
Это фундаментальное правило для работы с алгебраическими выражениями.
- Знак «+» перед скобкой: Раскрытие скобок со знаком «+» перед ними эквивалентно умножению каждого члена в скобках на $+1$. Умножение на $+1$ не меняет ни значение, ни знак числа.
Пример: $x + (2y - 3z) = x + 2y - 3z$. Знаки у $2y$ (плюс) и $-3z$ (минус) сохранились.
- Знак «-» перед скобкой: Раскрытие скобок со знаком «-» перед ними эквивалентно умножению каждого члена в скобках на $-1$. Умножение на $-1$ меняет знак каждого члена на противоположный.
Пример: $a - (b^2 - 4c + 5) = a - b^2 + 4c - 5$. Знак у $b^2$ сменился с «+» на «-», у $-4c$ с «-» на «+», у $+5$ с «+» на «-».

Ответ: оставить без изменения, изменить на противоположные.