Номер 3, страница 93 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Ключникова, Комиссарова

Параграф 27. Умножение многочлена на многочлен. Глава 6. Многочлены. Арифметические операции над многочленами - номер 3, страница 93.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

б) $(2m^2 + 3m + 1)(-2m^2 + 3m - 1)$

Для решения данного примера преобразуем выражения в скобках. Перегруппируем слагаемые так, чтобы можно было применить формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

Исходное выражение: $(2m^2 + 3m + 1)(-2m^2 + 3m - 1) = ((3m + 1) + 2m^2)((3m - 1) - 2m^2)$. Эта группировка неверна.

Правильная группировка слагаемых: $(3m + (2m^2 + 1))(3m - (2m^2 + 1))$.

Здесь можно применить формулу разности квадратов, где $a = 3m$ и $b = 2m^2 + 1$.

$(3m)^2 - (2m^2 + 1)^2$

Теперь раскроем скобки. Для $(2m^2 + 1)^2$ используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$9m^2 - ((2m^2)^2 + 2 \cdot 2m^2 \cdot 1 + 1^2) = 9m^2 - (4m^4 + 4m^2 + 1)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$9m^2 - 4m^4 - 4m^2 - 1 = -4m^4 + (9m^2 - 4m^2) - 1 = -4m^4 + 5m^2 - 1$

Многочлен записан в стандартном виде.

Ответ: $-4m^4 + 5m^2 - 1$

в) $(4 - y + y^2 - y^5)(1 - y)$

Чтобы преобразовать выражение в многочлен стандартного вида, умножим каждый член первого многочлена на каждый член второго.

$(4 - y + y^2 - y^5) \cdot 1 + (4 - y + y^2 - y^5) \cdot (-y) =$

$= (4 - y + y^2 - y^5) + (-4y + y^2 - y^3 + y^6) =$

$= 4 - y + y^2 - y^5 - 4y + y^2 - y^3 + y^6$

Теперь приведем подобные слагаемые и запишем многочлен в стандартном виде, расположив члены по убыванию степеней переменной $y$:

$y^6 - y^5 - y^3 + (y^2 + y^2) + (-y - 4y) + 4 = y^6 - y^5 - y^3 + 2y^2 - 5y + 4$

Ответ: $y^6 - y^5 - y^3 + 2y^2 - 5y + 4$

г) $(x + 5)(x - 2)(x^2 - 3x - 10)$

Решим задачу, выполняя умножение последовательно.

Способ 1:

Сначала перемножим первые два двучлена:

$(x + 5)(x - 2) = x \cdot x - 2x + 5x - 10 = x^2 + 3x - 10$

Теперь умножим полученный многочлен на третий многочлен $(x^2 - 3x - 10)$:

$(x^2 + 3x - 10)(x^2 - 3x - 10)$

Сгруппируем слагаемые, чтобы применить формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$((x^2 - 10) + 3x)((x^2 - 10) - 3x)$

Применяя формулу, где $a = x^2 - 10$ и $b = 3x$, получаем:

$(x^2 - 10)^2 - (3x)^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$( (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 10 + 10^2 ) - 9x^2 = (x^4 - 20x^2 + 100) - 9x^2$

Приведем подобные члены:

$x^4 - 20x^2 - 9x^2 + 100 = x^4 - 29x^2 + 100$

Способ 2:

Разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 - 3x - 10$. Для этого решим уравнение $x^2 - 3x - 10 = 0$. Корни уравнения: $x_1 = 5$, $x_2 = -2$.

Тогда $x^2 - 3x - 10 = (x - 5)(x + 2)$.

Подставим это в исходное выражение:

$(x + 5)(x - 2)(x - 5)(x + 2)$

Сгруппируем множители удобным образом:

$((x + 5)(x - 5)) \cdot ((x + 2)(x - 2))$

Применим формулу разности квадратов к каждой паре скобок:

$(x^2 - 5^2)(x^2 - 2^2) = (x^2 - 25)(x^2 - 4)$

Теперь перемножим полученные двучлены:

$x^2 \cdot x^2 - 4x^2 - 25x^2 + (-25) \cdot (-4) = x^4 - 4x^2 - 25x^2 + 100$

Приведем подобные слагаемые:

$x^4 - 29x^2 + 100$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $x^4 - 29x^2 + 100$