Номер 4, страница 93 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Ключникова, Комиссарова

Параграф 27. Умножение многочлена на многочлен. Глава 6. Многочлены. Арифметические операции над многочленами - номер 4, страница 93.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы заполнить пропуски в равенстве $(y + 1)(... - 3) = y² - ... - 3$, обозначим неизвестные выражения. Пусть первый пропуск будет $A$, а второй $B$. Тогда равенство примет вид: $(y + 1)(A - 3) = y² - B - 3$.
Раскроем скобки в левой части уравнения, умножив каждый член первого многочлена на каждый член второго: $(y + 1)(A - 3) = y \cdot A + y \cdot (-3) + 1 \cdot A + 1 \cdot (-3) = yA - 3y + A - 3$.
Теперь приравняем полученное выражение к правой части исходного равенства: $yA - 3y + A - 3 = y² - B - 3$.
Чтобы это равенство было верным, выражения в обеих частях должны быть тождественно равны. Сравним члены с одинаковыми степенями переменной $y$.
В правой части есть член $y²$. В левой части член со степенью 2 может получиться только из произведения $yA$. Следовательно, $yA = y²$, откуда мы находим, что $A = y$.
Теперь подставим $A = y$ в наше раскрытое выражение для левой части: $y \cdot y - 3y + y - 3 = y² - 2y - 3$.
Сравним полученный результат с правой частью исходного равенства: $y² - 2y - 3 = y² - B - 3$.
Сравнивая члены, мы видим, что $-2y$ соответствует $-B$. Значит, $B = 2y$.
Таким образом, в первый пропуск нужно вписать $y$, а во второй — $2y$.
Ответ: $(y + 1)(y - 3) = y² - 2y - 3$.

б) Рассмотрим второе равенство: $(x - 5)(x + ...) = ... - x - 20$. Обозначим пропуски как $C$ и $D$: $(x - 5)(x + C) = D - x - 20$.
Раскроем скобки в левой части: $(x - 5)(x + C) = x \cdot x + x \cdot C - 5 \cdot x - 5 \cdot C = x² + (C - 5)x - 5C$.
Теперь приравняем левую и правую части: $x² + (C - 5)x - 5C = D - x - 20$.
Для выполнения этого тождества коэффициенты при одинаковых степенях $x$, а также свободные члены (не содержащие $x$) в обеих частях должны быть равны.
Сравним свободные члены: $-5C = -20$. Отсюда легко найти $C$: $C = \frac{-20}{-5} = 4$.
Теперь сравним коэффициенты при $x$: $C - 5$ в левой части и $-1$ в правой. $C - 5 = -1$. Подставим найденное значение $C=4$: $4 - 5 = -1$, что дает верное равенство $-1 = -1$. Это подтверждает, что значение $C=4$ найдено правильно.
Наконец, сравним члены с $x²$. В левой части есть $x²$. Значит, и в правой части должен быть такой же член. Следовательно, $D = x²$.
Таким образом, в первый пропуск нужно вписать $4$, а во второй — $x²$.
Ответ: $(x - 5)(x + 4) = x² - x - 20$.