Номер 9, страница 95 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Ключникова, Комиссарова

Параграф 27. Умножение многочлена на многочлен. Глава 6. Многочлены. Арифметические операции над многочленами - номер 9, страница 95.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

а)

I этап. Составление математической модели.

Пусть $x$ м — длина комнаты. По условию, ширина на 1 м меньше, значит, ширина комнаты составляет $(x - 1)$ м.
Площадь ковра, покрывающего весь пол, равна площади комнаты: $S_1 = x(x - 1)$ м².
Стоимость этого ковра: $C_1 = 6000 \cdot x(x - 1)$ руб.
Рассмотрим уменьшенный ковер. Его длина на 50 см (0,5 м) меньше длины комнаты: $(x - 0,5)$ м.
Его ширина на 50 см (0,5 м) меньше ширины комнаты: $(x - 1) - 0,5 = (x - 1,5)$ м.
Площадь уменьшенного ковра: $S_2 = (x - 0,5)(x - 1,5)$ м².
Стоимость уменьшенного ковра: $C_2 = 6000 \cdot (x - 0,5)(x - 1,5)$ руб.
По условию задачи, уменьшенный ковер на 25 500 руб. дешевле, то есть $C_1 = C_2 + 25500$.
Составим уравнение: $6000x(x-1) = 6000(x-0,5)(x-1,5) + 25500$.

II этап. Работа с математической моделью.

Решим полученное уравнение, разделив обе части на 100 для упрощения:
$60x(x-1) = 60(x-0,5)(x-1,5) + 255$
Раскроем скобки:
$60(x^2 - x) = 60(x^2 - 1,5x - 0,5x + 0,75) + 255$
$60x^2 - 60x = 60(x^2 - 2x + 0,75) + 255$
$60x^2 - 60x = 60x^2 - 120x + 45 + 255$
Приведем подобные слагаемые:
$60x^2 - 60x - 60x^2 + 120x = 45 + 255$
$60x = 300$
$x = \frac{300}{60}$
$x = 5$.

III этап. Ответ на вопрос задачи.

Длина комнаты равна $x = 5$ м.
Ширина комнаты равна $x - 1 = 5 - 1 = 4$ м.

Ответ: 5 м, 4 м.

б)

I этап. Составление математической модели.

Пусть длина прямоугольника равна $a$ см, а ширина — $b$ см.
Периметр прямоугольника равен 70 см, поэтому $2(a + b) = 70$, откуда $a + b = 35$.
Выразим ширину через длину: $b = 35 - a$.
Изначальная площадь прямоугольника: $S_1 = ab = a(35 - a)$ см².
После изменений длина станет $a' = a - 5$ см, а ширина $b' = b + 5 = (35 - a) + 5 = 40 - a$ см.
Новая площадь прямоугольника: $S_2 = a'b' = (a - 5)(40 - a)$ см².
По условию, новая площадь на 50 см² больше исходной, то есть $S_2 = S_1 + 50$.
Составим уравнение: $(a - 5)(40 - a) = a(35 - a) + 50$.

II этап. Работа с математической моделью.

Решим полученное уравнение:
$(a - 5)(40 - a) = a(35 - a) + 50$
$40a - a^2 - 200 + 5a = 35a - a^2 + 50$
$45a - a^2 - 200 = 35a - a^2 + 50$
Приведем подобные слагаемые:
$45a - 35a = 50 + 200$
$10a = 250$
$a = 25$.

III этап. Ответ на вопрос задачи.

Длина исходного прямоугольника равна $a = 25$ см.
Ширина исходного прямоугольника равна $b = 35 - a = 35 - 25 = 10$ см.
Проверка: Периметр $2(25+10) = 70$ см. Исходная площадь $25 \times 10 = 250$ см². Новые размеры: $25-5=20$ см и $10+5=15$ см. Новая площадь $20 \times 15 = 300$ см². Разница площадей $300 - 250 = 50$ см². Все условия выполнены.

Ответ: длина 25 см, ширина 10 см.

в)

I этап. Составление математической модели.

Задача говорит о трех числах. Обозначим их как три последовательных натуральных числа: $n-1$, $n$, $n+1$, где $n-1 \ge 1$, то есть $n \ge 2$.
По условию, "произведение двух последовательных натуральных чисел" — это произведение второго и третьего чисел, то есть $n$ и $n+1$. Их произведение равно $n(n+1)$.
"Равно квадрату предыдущего им натурального числа". Предыдущим для чисел $n$ и $n+1$ является число $n-1$.
Квадрат этого числа, увеличенный на 5, равен $(n-1)^2 + 5$.
Составим уравнение: $n(n+1) = (n-1)^2 + 5$.

II этап. Работа с математической моделью.

Решим полученное уравнение:
$n(n+1) = (n-1)^2 + 5$
Раскроем скобки:
$n^2 + n = (n^2 - 2n + 1) + 5$
$n^2 + n = n^2 - 2n + 6$
Упростим уравнение, сократив $n^2$:
$n = -2n + 6$
$n + 2n = 6$
$3n = 6$
$n = 2$.

III этап. Ответ на вопрос задачи.

Мы нашли значение $n=2$. Так как $n \ge 2$, это допустимое значение.
Искомые три последовательных числа: $n-1$, $n$, $n+1$.
Подставляем $n=2$:
Первое число: $2-1 = 1$.
Второе число: $2$.
Третье число: $2+1 = 3$.
Искомые числа: 1, 2, 3.
Проверка: Произведение двух последовательных (2 и 3) равно $2 \times 3 = 6$. Квадрат предыдущего им числа (1), увеличенный на 5, равен $1^2 + 5 = 1 + 5 = 6$. Условие $6=6$ выполняется.

Ответ: 1, 2, 3.