Номер 12, страница 101 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Ключникова, Комиссарова

Параграф 28. Формулы сокращенного умножения. Глава 6. Многочлены. Арифметические операции над многочленами - номер 12, страница 101.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Исходное равенство: $a^2 - 2ab + \text{___} = (a - b)^2$.
Данное равенство основано на формуле сокращенного умножения "квадрат разности": $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
В нашем случае, правая часть равенства уже задана как $(a - b)^2$. Раскроем ее по формуле, где $x=a$ и $y=b$:
$(a - b)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot b + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Сравнивая полученное выражение $a^2 - 2ab + b^2$ с левой частью исходного равенства $a^2 - 2ab + \text{___}$, мы видим, что пропущенный член — это $b^2$.
Ответ: $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$.

б) Исходное равенство: $4x^2 + \text{___} + b^2 = (2x \text{___} b)^2$.
Это равенство представляет собой формулу полного квадрата.
Первый член в левой части, $4x^2$, является квадратом выражения $2x$, так как $(2x)^2 = 4x^2$.
Третий член, $b^2$, является квадратом выражения $b$.
Это означает, что в скобках в правой части должны стоять $2x$ и $b$. Поскольку перед пропущенным членом и $b^2$ стоят знаки плюс, мы используем формулу "квадрат суммы": $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Применим эту формулу для $(2x + b)^2$, где $x=2x$ и $y=b$:
$(2x + b)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot b + b^2 = 4x^2 + 4xb + b^2$.
Таким образом, первый пропуск в левой части — это удвоенное произведение $4xb$. Второй пропуск в правой части — это знак "+".
Ответ: $4x^2 + 4xb + b^2 = (2x + b)^2$.

в) Исходное равенство: $n^2k^2 + 4nk + \text{___} = (\text{___})^2$.
Левая часть является трехчленом, который нужно дополнить до полного квадрата.
Первый член $n^2k^2$ — это квадрат выражения $nk$, то есть $(nk)^2$.
Второй член $4nk$ — это удвоенное произведение первого члена на второй. Если первый член в скобках — $nk$, то $2 \cdot (nk) \cdot y = 4nk$. Отсюда находим второй член $y$: $y = \frac{4nk}{2nk} = 2$.
Поскольку средний член ($+4nk$) положителен, используется формула квадрата суммы. Выражение в скобках будет $(nk + 2)$.
Пропущенный третий член в левой части — это квадрат второго члена из скобок, то есть $2^2 = 4$.
Проверка: $(nk + 2)^2 = (nk)^2 + 2 \cdot nk \cdot 2 + 2^2 = n^2k^2 + 4nk + 4$.
Ответ: $n^2k^2 + 4nk + 4 = (nk + 2)^2$.

г) Исходное равенство: $\frac{1}{4}q^2 + \text{___} + b^2 = (\text{___})^2$.
Это также формула полного квадрата.
Первый член $\frac{1}{4}q^2$ является квадратом выражения $\frac{1}{2}q$, так как $(\frac{1}{2}q)^2 = \frac{1}{4}q^2$.
Третий член $b^2$ является квадратом $b$.
Следовательно, в скобках должны стоять $\frac{1}{2}q$ и $b$. Так как знаки перед известными членами положительные, используем формулу квадрата суммы.
Выражение в скобках в правой части будет $(\frac{1}{2}q + b)$.
Теперь найдем пропущенный средний член в левой части. Он равен удвоенному произведению членов в скобках: $2 \cdot (\frac{1}{2}q) \cdot b = qb$.
Проверка: $(\frac{1}{2}q + b)^2 = (\frac{1}{2}q)^2 + 2 \cdot (\frac{1}{2}q) \cdot b + b^2 = \frac{1}{4}q^2 + qb + b^2$.
Ответ: $\frac{1}{4}q^2 + qb + b^2 = (\frac{1}{2}q + b)^2$.