Номер 9, страница 109 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Ключникова, Комиссарова

Параграф 30. Что такое разложение на множители и зачем оно нужно?. Глава 7. Разложение многочленов на множители - номер 9, страница 109.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $a^4 + 2a^2b + b^2$

Данное выражение является полным квадратом суммы. Воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

В данном примере, который уже решен в условии, мы можем определить компоненты формулы следующим образом: пусть $x = a^2$ и $y = b$. Тогда:

• $x^2 = (a^2)^2 = a^4$
• $y^2 = b^2$
• $2xy = 2 \cdot a^2 \cdot b = 2a^2b$

Как видно, все члены многочлена соответствуют формуле. Таким образом, разложение на множители выглядит так:

$a^4 + 2a^2b + b^2 = (a^2)^2 + 2 \cdot a^2 \cdot b + b^2 = (a^2 + b)^2$.

Ответ: $(a^2 + b)^2$.

б) $9a^2 + 6ab + b^2$

Это выражение также похоже на полный квадрат суммы. Применим формулу $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Представим первый и последний члены в виде квадратов, чтобы найти $x$ и $y$:

• $9a^2 = (3a)^2$. Отсюда можно предположить, что $x=3a$.
• $b^2 = (b)^2$. Отсюда можно предположить, что $y=b$.

Теперь необходимо проверить, равен ли средний член выражения удвоенному произведению $2xy$:

$2xy = 2 \cdot (3a) \cdot b = 6ab$.

Средний член совпадает. Следовательно, многочлен является полным квадратом суммы $(3a+b)$.

$9a^2 + 6ab + b^2 = (3a)^2 + 2 \cdot (3a) \cdot b + b^2 = (3a + b)^2$.

Ответ: $(3a + b)^2$.

в) $1 - 2xy + x^2y^2$

Данное выражение соответствует формуле квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Представим первый и последний члены в виде квадратов, чтобы найти $a$ и $b$:

• $1 = 1^2$. Предположим, что $a = 1$.
• $x^2y^2 = (xy)^2$. Предположим, что $b = xy$.

Проверим средний член. Он должен быть равен $-2$ умноженному на произведение $a$ и $b$:

$-2ab = -2 \cdot 1 \cdot (xy) = -2xy$.

Средний член совпадает. Значит, мы можем применить формулу квадрата разности.

$1 - 2xy + x^2y^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot (xy) + (xy)^2 = (1 - xy)^2$.

Ответ: $(1 - xy)^2$.

г) $\frac{16}{25}x^4 - 2x^2y^2 + \frac{25}{16}y^4$

Это выражение также является полным квадратом разности. Используем формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Представим первый и последний члены в виде квадратов:

• Первый член: $\frac{16}{25}x^4 = (\frac{4}{5}x^2)^2$. Значит, $a = \frac{4}{5}x^2$.
• Последний член: $\frac{25}{16}y^4 = (\frac{5}{4}y^2)^2$. Значит, $b = \frac{5}{4}y^2$.

Теперь проверим, совпадает ли средний член с $-2ab$:

$-2ab = -2 \cdot (\frac{4}{5}x^2) \cdot (\frac{5}{4}y^2) = -2 \cdot \frac{4 \cdot 5}{5 \cdot 4} \cdot x^2y^2 = -2 \cdot 1 \cdot x^2y^2 = -2x^2y^2$.

Средний член совпадает. Следовательно, мы можем свернуть выражение по формуле квадрата разности.

$\frac{16}{25}x^4 - 2x^2y^2 + \frac{25}{16}y^4 = (\frac{4}{5}x^2)^2 - 2 \cdot (\frac{4}{5}x^2) \cdot (\frac{5}{4}y^2) + (\frac{5}{4}y^2)^2 = (\frac{4}{5}x^2 - \frac{5}{4}y^2)^2$.

Ответ: $(\frac{4}{5}x^2 - \frac{5}{4}y^2)^2$.