Номер 1, страница 109 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Ключникова, Комиссарова

Параграф 31. Вынесение общего множителя за скобки. Глава 7. Разложение многочленов на множители - номер 1, страница 109.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Если одна и та же переменная входит во все члены многочлена, то ее можно вынести за скобки в степени, равной наименьшему показателю, т.е. выбирают наименьший из имеющихся показателей.

Это правило определяет, как найти максимальную степень переменной, которую можно вынести за скобки при разложении многочлена на множители. Чтобы это сделать, нужно сравнить все степени (показатели), с которыми данная переменная входит в каждый член многочлена, и выбрать из них наименьшую.

Рассмотрим пример:
Дан многочлен $15x^6 - 5x^4 + 10x^3$.

Переменная $x$ присутствует во всех трех членах многочлена.
Ее показатели степеней в каждом члене равны 6, 4 и 3.
Наименьший из этих показателей — это 3.
Следовательно, мы можем вынести за скобки переменную $x$ в третьей степени ($x^3$).
Разложение будет выглядеть так: $x^3(15x^{6-3} - 5x^{4-3} + 10x^{3-3}) = x^3(15x^3 - 5x^1 + 10x^0)$.
Поскольку любое число в нулевой степени равно 1 ($x^0=1$), окончательное выражение будет: $x^3(15x^3 - 5x + 10)$.

Ответ: наименьшему показателю; наименьший.

2) Если многочлен можно представить в виде произведения одночлена и многочлена, то многочлен разложен на множители с помощью вынесения общего множителя за скобки.

Это определение описывает один из фундаментальных методов разложения многочленов на множители. Суть метода заключается в нахождении общего для всех членов многочлена множителя (это может быть число, переменная или их произведение, т.е. одночлен) и его "извлечении" за скобки. В результате исходный многочлен представляется в виде произведения этого общего множителя и нового многочлена, который остается в скобках.

Рассмотрим пример:
Разложим на множители многочлен $8a^4b^2 + 12a^2b^3$.

1. Найдем наибольший общий делитель (НОД) для числовых коэффициентов 8 и 12. НОД(8, 12) = 4.
2. Найдем общую часть для переменной $a$. Она входит в члены со степенями 4 и 2. Наименьшая степень — 2, значит, выносим $a^2$.
3. Найдем общую часть для переменной $b$. Она входит в члены со степенями 2 и 3. Наименьшая степень — 2, значит, выносим $b^2$.
4. Таким образом, общий множитель (одночлен), который мы выносим за скобки, — это $4a^2b^2$.
5. Выполним разложение: $8a^4b^2 + 12a^2b^3 = 4a^2b^2 \cdot (2a^2) + 4a^2b^2 \cdot (3b) = 4a^2b^2(2a^2 + 3b)$.

Мы представили многочлен в виде произведения одночлена $4a^2b^2$ и многочлена $(2a^2 + 3b)$, то есть разложили его на множители с помощью вынесения общего множителя за скобки.

Ответ: вынесения общего множителя.