Номер 63, страница 23 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Рациональные числа. Параграф 3. Обыкновенные дроби - номер 63, страница 23.

Условие.

63. Вычислить:

1) $\frac{2}{11} + \frac{3}{7}$;

2) $\frac{4}{5} + \frac{2}{7}$;

3) $\frac{11}{12} - \frac{1}{4}$;

4) $\frac{3}{5} - \frac{4}{15}$;

5) $\frac{7}{24} + \frac{5}{18}$;

6) $\frac{13}{16} + \frac{9}{20}$;

7) $\frac{18}{25} - \frac{9}{35}$;

8) $\frac{25}{42} - \frac{17}{30}$;

9) $2\frac{5}{6} + 3\frac{3}{8}$;

10) $4\frac{11}{12} + 5\frac{5}{18}$;

11) $7\frac{12}{33} - 6\frac{21}{22}$;

12) $10\frac{13}{35} - 3\frac{17}{21}$.

Решение 1.

Решение 5.

1) Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для чисел 11 и 7 — это их произведение, так как они являются простыми числами: $11 \times 7 = 77$. Приводим дроби к этому знаменателю: $\frac{2}{11} = \frac{2 \times 7}{11 \times 7} = \frac{14}{77}$ $\frac{3}{7} = \frac{3 \times 11}{7 \times 11} = \frac{33}{77}$ Теперь складываем полученные дроби: $\frac{14}{77} + \frac{33}{77} = \frac{14 + 33}{77} = \frac{47}{77}$. Ответ: $\frac{47}{77}$.

2) Находим НОЗ для 5 и 7. Так как это простые числа, НОЗ равен $5 \times 7 = 35$. Приводим дроби к знаменателю 35: $\frac{4}{5} + \frac{2}{7} = \frac{4 \times 7}{5 \times 7} + \frac{2 \times 5}{7 \times 5} = \frac{28}{35} + \frac{10}{35} = \frac{28 + 10}{35} = \frac{38}{35}$. Так как числитель больше знаменателя, выделяем целую часть: $\frac{38}{35} = 1\frac{3}{35}$. Ответ: $1\frac{3}{35}$.

3) НОЗ для 12 и 4 равен 12, так как 12 делится на 4. Приводим вторую дробь к знаменателю 12: $\frac{1}{4} = \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{3}{12}$. Выполняем вычитание: $\frac{11}{12} - \frac{3}{12} = \frac{11 - 3}{12} = \frac{8}{12}$. Сокращаем полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 4: $\frac{8}{12} = \frac{8 \div 4}{12 \div 4} = \frac{2}{3}$. Ответ: $\frac{2}{3}$.

4) НОЗ для 5 и 15 равен 15. Приводим первую дробь к знаменателю 15: $\frac{3}{5} = \frac{3 \times 3}{5 \times 3} = \frac{9}{15}$. Выполняем вычитание: $\frac{9}{15} - \frac{4}{15} = \frac{9 - 4}{15} = \frac{5}{15}$. Сокращаем дробь на 5: $\frac{5}{15} = \frac{5 \div 5}{15 \div 5} = \frac{1}{3}$. Ответ: $\frac{1}{3}$.

5) Находим НОЗ для 24 и 18. Разложим их на простые множители: $24 = 2^3 \times 3$; $18 = 2 \times 3^2$. НОЗ$(24, 18) = 2^3 \times 3^2 = 8 \times 9 = 72$. Приводим дроби к знаменателю 72: $\frac{7}{24} + \frac{5}{18} = \frac{7 \times 3}{24 \times 3} + \frac{5 \times 4}{18 \times 4} = \frac{21}{72} + \frac{20}{72} = \frac{21 + 20}{72} = \frac{41}{72}$. Ответ: $\frac{41}{72}$.

6) Находим НОЗ для 16 и 20. $16 = 2^4$; $20 = 2^2 \times 5$. НОЗ$(16, 20) = 2^4 \times 5 = 16 \times 5 = 80$. Приводим дроби к знаменателю 80: $\frac{13}{16} + \frac{9}{20} = \frac{13 \times 5}{16 \times 5} + \frac{9 \times 4}{20 \times 4} = \frac{65}{80} + \frac{36}{80} = \frac{101}{80}$. Выделяем целую часть: $\frac{101}{80} = 1\frac{21}{80}$. Ответ: $1\frac{21}{80}$.

7) Находим НОЗ для 25 и 35. $25 = 5^2$; $35 = 5 \times 7$. НОЗ$(25, 35) = 5^2 \times 7 = 25 \times 7 = 175$. Приводим дроби к знаменателю 175: $\frac{18}{25} - \frac{9}{35} = \frac{18 \times 7}{25 \times 7} - \frac{9 \times 5}{35 \times 5} = \frac{126}{175} - \frac{45}{175} = \frac{126 - 45}{175} = \frac{81}{175}$. Ответ: $\frac{81}{175}$.

8) Находим НОЗ для 42 и 30. $42 = 2 \times 3 \times 7$; $30 = 2 \times 3 \times 5$. НОЗ$(42, 30) = 2 \times 3 \times 5 \times 7 = 210$. Приводим дроби к знаменателю 210: $\frac{25}{42} - \frac{17}{30} = \frac{25 \times 5}{42 \times 5} - \frac{17 \times 7}{30 \times 7} = \frac{125}{210} - \frac{119}{210} = \frac{6}{210}$. Сокращаем дробь на 6: $\frac{6 \div 6}{210 \div 6} = \frac{1}{35}$. Ответ: $\frac{1}{35}$.

9) Складываем целые части: $2 + 3 = 5$. Складываем дробные части: $\frac{5}{6} + \frac{3}{8}$. НОЗ для 6 и 8 равен 24. $\frac{5 \times 4}{6 \times 4} + \frac{3 \times 3}{8 \times 3} = \frac{20}{24} + \frac{9}{24} = \frac{29}{24}$. Выделяем целую часть из дробной суммы: $\frac{29}{24} = 1\frac{5}{24}$. Прибавляем к сумме целых частей: $5 + 1\frac{5}{24} = 6\frac{5}{24}$. Ответ: $6\frac{5}{24}$.

10) Складываем целые части: $4 + 5 = 9$. Складываем дробные части: $\frac{11}{12} + \frac{5}{18}$. НОЗ для 12 и 18 равен 36. $\frac{11 \times 3}{12 \times 3} + \frac{5 \times 2}{18 \times 2} = \frac{33}{36} + \frac{10}{36} = \frac{43}{36}$. Выделяем целую часть: $\frac{43}{36} = 1\frac{7}{36}$. Складываем с целой частью: $9 + 1\frac{7}{36} = 10\frac{7}{36}$. Ответ: $10\frac{7}{36}$.

11) Сначала упростим дробную часть первого числа: $\frac{12}{33} = \frac{4}{11}$. Получаем выражение: $7\frac{4}{11} - 6\frac{21}{22}$. Приводим дробные части к общему знаменателю 22: $7\frac{4 \times 2}{11 \times 2} - 6\frac{21}{22} = 7\frac{8}{22} - 6\frac{21}{22}$. Так как дробная часть уменьшаемого ($\frac{8}{22}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{21}{22}$), занимаем единицу из целой части: $7\frac{8}{22} = 6 + 1 + \frac{8}{22} = 6 + \frac{22}{22} + \frac{8}{22} = 6\frac{30}{22}$. Теперь выполняем вычитание: $6\frac{30}{22} - 6\frac{21}{22} = (6-6) + (\frac{30}{22} - \frac{21}{22}) = 0 + \frac{9}{22} = \frac{9}{22}$. Ответ: $\frac{9}{22}$.

12) Приводим дробные части к общему знаменателю. НОЗ для 35 и 21 равен 105. $10\frac{13}{35} - 3\frac{17}{21} = 10\frac{13 \times 3}{35 \times 3} - 3\frac{17 \times 5}{21 \times 5} = 10\frac{39}{105} - 3\frac{85}{105}$. Дробная часть уменьшаемого меньше, поэтому занимаем единицу у целой части: $10\frac{39}{105} = 9 + 1 + \frac{39}{105} = 9 + \frac{105}{105} + \frac{39}{105} = 9\frac{144}{105}$. Теперь вычитаем: $9\frac{144}{105} - 3\frac{85}{105} = (9-3) + (\frac{144 - 85}{105}) = 6 + \frac{59}{105} = 6\frac{59}{105}$. Ответ: $6\frac{59}{105}$.