Номер 65, страница 23 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

65. Вычислить:

1) $15 \cdot \frac{3}{20};$

2) $\frac{12}{35} \cdot 42;$

3) $\frac{13}{56} \cdot \frac{21}{65};$

4) $\frac{50}{77} \cdot \frac{121}{150};$

5) $14 \cdot 9\frac{2}{7};$

6) $5\frac{7}{8} \cdot \frac{8}{47};$

7) $2\frac{1}{3} \cdot 3\frac{3}{4};$

8) $4\frac{4}{9} \cdot 1\frac{7}{20};$

9) $\left(\frac{1}{2}\right)^5;$

10) $\left(\frac{2}{3}\right)^4;$

11) $\left(2\frac{1}{4}\right)^2;$

12) $\left(1\frac{1}{3}\right)^3.$

1) Для того чтобы умножить целое число на дробь, нужно это число умножить на числитель дроби, а знаменатель оставить без изменений. Затем, если возможно, сократить дробь.
$15 \cdot \frac{3}{20} = \frac{15 \cdot 3}{20} = \frac{45}{20}$. Сократим числитель и знаменатель на 5: $\frac{45 \div 5}{20 \div 5} = \frac{9}{4}$.
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}$.
Ответ: $2\frac{1}{4}$.

2) Умножим дробь на целое число.
$\frac{12}{35} \cdot 42 = \frac{12 \cdot 42}{35}$. Сократим 42 и 35 на их общий делитель 7:
$\frac{12 \cdot (6 \cdot 7)}{5 \cdot 7} = \frac{12 \cdot 6}{5} = \frac{72}{5}$.
Преобразуем в смешанное число: $\frac{72}{5} = 14\frac{2}{5}$.
Ответ: $14\frac{2}{5}$.

3) Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и их знаменатели.
$\frac{13}{56} \cdot \frac{21}{65} = \frac{13 \cdot 21}{56 \cdot 65}$. Сократим дроби перед умножением: 13 и 65 делятся на 13, а 21 и 56 делятся на 7.
$\frac{13 \cdot (3 \cdot 7)}{(8 \cdot 7) \cdot (5 \cdot 13)} = \frac{1 \cdot 3}{8 \cdot 5} = \frac{3}{40}$.
Ответ: $\frac{3}{40}$.

4) Умножим дроби, предварительно сократив их.
$\frac{50}{77} \cdot \frac{121}{150} = \frac{50 \cdot 121}{77 \cdot 150}$. Сократим 50 и 150 на 50, а 121 и 77 на 11.
$\frac{50 \cdot (11 \cdot 11)}{(7 \cdot 11) \cdot (3 \cdot 50)} = \frac{1 \cdot 11}{7 \cdot 3} = \frac{11}{21}$.
Ответ: $\frac{11}{21}$.

5) Для умножения целого числа на смешанное число, сначала представим смешанное число в виде неправильной дроби.
$9\frac{2}{7} = \frac{9 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{63 + 2}{7} = \frac{65}{7}$.
$14 \cdot 9\frac{2}{7} = 14 \cdot \frac{65}{7} = \frac{14 \cdot 65}{7}$. Сократим 14 и 7 на 7.
$\frac{(2 \cdot 7) \cdot 65}{7} = 2 \cdot 65 = 130$.
Ответ: $130$.

6) Преобразуем смешанное число в неправильную дробь и выполним умножение.
$5\frac{7}{8} = \frac{5 \cdot 8 + 7}{8} = \frac{40 + 7}{8} = \frac{47}{8}$.
$5\frac{7}{8} \cdot \frac{8}{47} = \frac{47}{8} \cdot \frac{8}{47}$. Так как мы умножаем взаимообратные числа, их произведение равно 1.
$\frac{47 \cdot 8}{8 \cdot 47} = 1$.
Ответ: $1$.

7) Преобразуем оба смешанных числа в неправильные дроби.
$2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$.
$3\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{12 + 3}{4} = \frac{15}{4}$.
$2\frac{1}{3} \cdot 3\frac{3}{4} = \frac{7}{3} \cdot \frac{15}{4} = \frac{7 \cdot 15}{3 \cdot 4}$. Сократим 15 и 3 на 3.
$\frac{7 \cdot (5 \cdot 3)}{3 \cdot 4} = \frac{7 \cdot 5}{4} = \frac{35}{4}$.
Преобразуем в смешанное число: $\frac{35}{4} = 8\frac{3}{4}$.
Ответ: $8\frac{3}{4}$.

8) Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.
$4\frac{4}{9} = \frac{4 \cdot 9 + 4}{9} = \frac{36+4}{9} = \frac{40}{9}$.
$1\frac{7}{20} = \frac{1 \cdot 20 + 7}{20} = \frac{27}{20}$.
$4\frac{4}{9} \cdot 1\frac{7}{20} = \frac{40}{9} \cdot \frac{27}{20} = \frac{40 \cdot 27}{9 \cdot 20}$. Сократим 40 и 20 на 20, а 27 и 9 на 9.
$\frac{(2 \cdot 20) \cdot (3 \cdot 9)}{9 \cdot 20} = 2 \cdot 3 = 6$.
Ответ: $6$.

9) Чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень числитель и знаменатель дроби.
$(\frac{1}{2})^5 = \frac{1^5}{2^5} = \frac{1}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{1}{32}$.
Ответ: $\frac{1}{32}$.

10) Возведем в степень числитель и знаменатель.
$(\frac{2}{3})^4 = \frac{2^4}{3^4} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{16}{81}$.
Ответ: $\frac{16}{81}$.

11) Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь, а затем возведем в степень.
$2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$.
$(2\frac{1}{4})^2 = (\frac{9}{4})^2 = \frac{9^2}{4^2} = \frac{81}{16}$.
Преобразуем в смешанное число: $\frac{81}{16} = 5\frac{1}{16}$.
Ответ: $5\frac{1}{16}$.

12) Преобразуем смешанное число в неправильную дробь и возведем в степень.
$1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$.
$(1\frac{1}{3})^3 = (\frac{4}{3})^3 = \frac{4^3}{3^3} = \frac{64}{27}$.
Преобразуем в смешанное число: $\frac{64}{27} = 2\frac{10}{27}$.
Ответ: $2\frac{10}{27}$.