Номер 64, страница 23 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Рациональные числа. Параграф 3. Обыкновенные дроби - номер 64, страница 23.

Условие.

64. Выполнить действия:

1) $2\frac{7}{18} - 1\frac{1}{4} + \frac{5}{8};$

2) $5\frac{9}{10} + \frac{7}{15} - 2\frac{17}{20};$

3) $\frac{3}{56} + 3\frac{5}{14} - 2\frac{20}{21}.$

Решение 1.

Решение 5.

1) $2\frac{7}{18} - 1\frac{1}{4} + \frac{5}{8}$

Для решения этого примера можно отдельно выполнить действия с целыми частями и с дробными частями.

1. Вычислим разность целых частей: $2 - 1 = 1$.

2. Теперь выполним действия с дробными частями: $\frac{7}{18} - \frac{1}{4} + \frac{5}{8}$.

Чтобы сложить и вычесть дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 18, 4 и 8.

Разложим знаменатели на простые множители:
$18 = 2 \cdot 3^2$
$4 = 2^2$
$8 = 2^3$
НОК(18, 4, 8) = $2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72$.

Приведем дроби к знаменателю 72:

$\frac{7}{18} = \frac{7 \cdot 4}{18 \cdot 4} = \frac{28}{72}$

$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 18}{4 \cdot 18} = \frac{18}{72}$

$\frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 9}{8 \cdot 9} = \frac{45}{72}$

3. Подставим полученные дроби в выражение:

$\frac{28}{72} - \frac{18}{72} + \frac{45}{72} = \frac{28 - 18 + 45}{72} = \frac{10 + 45}{72} = \frac{55}{72}$.

4. Сложим полученную целую часть и дробную часть:

$1 + \frac{55}{72} = 1\frac{55}{72}$.

Ответ: $1\frac{55}{72}$.

2) $5\frac{9}{10} + \frac{7}{15} - 2\frac{17}{20}$

Решим пример, работая с целыми и дробными частями по отдельности.

1. Выполним действия с целыми частями: $5 - 2 = 3$.

2. Выполним действия с дробными частями: $\frac{9}{10} + \frac{7}{15} - \frac{17}{20}$.

Найдем НОК для знаменателей 10, 15 и 20.

$10 = 2 \cdot 5$
$15 = 3 \cdot 5$
$20 = 2^2 \cdot 5$
НОК(10, 15, 20) = $2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$.

Приведем дроби к знаменателю 60:

$\frac{9}{10} = \frac{9 \cdot 6}{10 \cdot 6} = \frac{54}{60}$

$\frac{7}{15} = \frac{7 \cdot 4}{15 \cdot 4} = \frac{28}{60}$

$\frac{17}{20} = \frac{17 \cdot 3}{20 \cdot 3} = \frac{51}{60}$

3. Подставим дроби в выражение:

$\frac{54}{60} + \frac{28}{60} - \frac{51}{60} = \frac{54 + 28 - 51}{60} = \frac{82 - 51}{60} = \frac{31}{60}$.

4. Сложим целую и дробную части:

$3 + \frac{31}{60} = 3\frac{31}{60}$.

Ответ: $3\frac{31}{60}$.

3) $\frac{3}{56} + 3\frac{5}{14} - 2\frac{20}{21}$

В этом примере удобнее сначала преобразовать смешанные числа в неправильные дроби, а затем выполнить действия.

1. Преобразуем смешанные числа:

$3\frac{5}{14} = \frac{3 \cdot 14 + 5}{14} = \frac{42 + 5}{14} = \frac{47}{14}$

$2\frac{20}{21} = \frac{2 \cdot 21 + 20}{21} = \frac{42 + 20}{21} = \frac{62}{21}$

2. Исходное выражение примет вид:

$\frac{3}{56} + \frac{47}{14} - \frac{62}{21}$

3. Найдем общий знаменатель для дробей. НОК(56, 14, 21).

$56 = 7 \cdot 8 = 7 \cdot 2^3$
$14 = 2 \cdot 7$
$21 = 3 \cdot 7$
НОК(56, 14, 21) = $2^3 \cdot 3 \cdot 7 = 8 \cdot 3 \cdot 7 = 168$.

4. Приведем дроби к знаменателю 168:

$\frac{3}{56} = \frac{3 \cdot 3}{56 \cdot 3} = \frac{9}{168}$

$\frac{47}{14} = \frac{47 \cdot 12}{14 \cdot 12} = \frac{564}{168}$

$\frac{62}{21} = \frac{62 \cdot 8}{21 \cdot 8} = \frac{496}{168}$

5. Выполним действия с неправильными дробями:

$\frac{9}{168} + \frac{564}{168} - \frac{496}{168} = \frac{9 + 564 - 496}{168} = \frac{573 - 496}{168} = \frac{77}{168}$.

6. Сократим полученную дробь. И числитель, и знаменатель делятся на 7:

$\frac{77 \div 7}{168 \div 7} = \frac{11}{24}$.

Ответ: $\frac{11}{24}$.