Номер 13, страница 22, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 1. Глава 1. Выражения, тождества, уравнения. 5. Свойства действий над числами - номер 13, страница 22.

Условие.

13. а) Проверьте, верны ли равенства:

$\frac{1}{4 \cdot 5} = \frac{1}{4} - \frac{1}{5}$; $\frac{1}{5 \cdot 6} = \frac{1}{5} - \frac{1}{6}$; $\frac{1}{6 \cdot 7} = \frac{1}{6} - \frac{1}{7}$.

б) Найдите значение выражения

$\frac{1}{7 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 9} + \frac{1}{9 \cdot 10}$, заменяя каждую дробь вида $\frac{1}{n(n+1)}$ разностью дробей $\frac{1}{n}$ и $\frac{1}{n+1}$.

Решение.

Решение 2.

а) Проверьте, верны ли равенства:

Для проверки каждого равенства вычислим значения его левой и правой частей и сравним их.

1) Равенство $ \frac{1}{4 \cdot 5} = \frac{1}{4} - \frac{1}{5} $.
Левая часть: $ \frac{1}{4 \cdot 5} = \frac{1}{20} $.
Правая часть: $ \frac{1}{4} - \frac{1}{5} $. Приведем дроби к общему знаменателю 20: $ \frac{1 \cdot 5}{4 \cdot 5} - \frac{1 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{5}{20} - \frac{4}{20} = \frac{1}{20} $.
Поскольку левая и правая части равны ($ \frac{1}{20} = \frac{1}{20} $), равенство верно.

2) Равенство $ \frac{1}{5 \cdot 6} = \frac{1}{5} - \frac{1}{6} $.
Левая часть: $ \frac{1}{5 \cdot 6} = \frac{1}{30} $.
Правая часть: $ \frac{1}{5} - \frac{1}{6} $. Приведем дроби к общему знаменателю 30: $ \frac{1 \cdot 6}{5 \cdot 6} - \frac{1 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{6}{30} - \frac{5}{30} = \frac{1}{30} $.
Поскольку левая и правая части равны ($ \frac{1}{30} = \frac{1}{30} $), равенство верно.

3) Равенство $ \frac{1}{6 \cdot 7} = \frac{1}{6} - \frac{1}{7} $.
Левая часть: $ \frac{1}{6 \cdot 7} = \frac{1}{42} $.
Правая часть: $ \frac{1}{6} - \frac{1}{7} $. Приведем дроби к общему знаменателю 42: $ \frac{1 \cdot 7}{6 \cdot 7} - \frac{1 \cdot 6}{7 \cdot 6} = \frac{7}{42} - \frac{6}{42} = \frac{1}{42} $.
Поскольку левая и правая части равны ($ \frac{1}{42} = \frac{1}{42} $), равенство верно.

Ответ: все равенства верны.

б) Найдите значение выражения $ \frac{1}{7 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 9} + \frac{1}{9 \cdot 10} $, заменяя каждую дробь вида $ \frac{1}{n(n+1)} $ разностью дробей $ \frac{1}{n} $ и $ \frac{1}{n+1} $.

В пункте а) было показано, что для последовательных натуральных чисел $n$ и $n+1$ справедливо тождество: $ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} $. Воспользуемся этим свойством для вычисления суммы.

Представим каждое слагаемое в виде разности двух дробей:
$ \frac{1}{7 \cdot 8} = \frac{1}{7} - \frac{1}{8} $
$ \frac{1}{8 \cdot 9} = \frac{1}{8} - \frac{1}{9} $
$ \frac{1}{9 \cdot 10} = \frac{1}{9} - \frac{1}{10} $

Теперь подставим полученные разности в исходное выражение:
$ \frac{1}{7 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 9} + \frac{1}{9 \cdot 10} = \left(\frac{1}{7} - \frac{1}{8}\right) + \left(\frac{1}{8} - \frac{1}{9}\right) + \left(\frac{1}{9} - \frac{1}{10}\right) $

Раскроем скобки. Видим, что некоторые слагаемые взаимно уничтожаются:
$ \frac{1}{7} - \frac{1}{8} + \frac{1}{8} - \frac{1}{9} + \frac{1}{9} - \frac{1}{10} = \frac{1}{7} - \frac{1}{10} $

Осталось найти разность дробей $ \frac{1}{7} $ и $ \frac{1}{10} $. Общий знаменатель равен $ 7 \cdot 10 = 70 $.
$ \frac{1}{7} - \frac{1}{10} = \frac{10}{70} - \frac{7}{70} = \frac{10 - 7}{70} = \frac{3}{70} $.

Ответ: $ \frac{3}{70} $.