Номер 3, страница 20, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 1. Глава 1. Выражения, тождества, уравнения. 5. Свойства действий над числами - номер 3, страница 20.

Условие.

3.Чему равна сумма всех целых чисел от –210 до 212 включительно?

Какие свойства сложения были использованы при ответе на вопрос?

Решение.

Решение 2.

Чему равна сумма всех целых чисел от –210 до 212 включительно?
Требуется найти сумму $S$ всех целых чисел в указанном диапазоне. Запишем эту сумму:
$S = -210 + (-209) + \dots + (-1) + 0 + 1 + \dots + 209 + 210 + 211 + 212$
Можно заметить, что для каждого целого числа от $-210$ до $-1$ в этой сумме есть парное ему противоположное число от $1$ до $210$. Сумма любой пары противоположных чисел равна нулю. Например:
$-210 + 210 = 0$
$-209 + 209 = 0$
...
$-1 + 1 = 0$
Таким образом, сумма всех целых чисел от $-210$ до $210$ включительно, включая ноль, равна нулю.
$S = \underbrace{(-210 + (-209) + \dots + 209 + 210)}_{0} + 211 + 212$
В результате вся сумма сводится к сложению двух оставшихся чисел:
$S = 0 + 211 + 212 = 423$
Ответ: 423

Какие свойства сложения были использованы при ответе на вопрос?
При вычислении суммы были использованы следующие фундаментальные свойства сложения:
- Переместительное (коммутативное) свойство сложения. Оно гласит, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется: $a + b = b + a$. Это свойство позволило изменить порядок чисел в сумме.
- Сочетательное (ассоциативное) свойство сложения. Оно позволяет группировать слагаемые произвольным образом: $(a + b) + c = a + (b + c)$. Используя это свойство, мы сгруппировали пары противоположных чисел.
- Свойство противоположных чисел. Сумма противоположных чисел всегда равна нулю: $a + (-a) = 0$. Это было ключевым шагом в упрощении выражения.
- Свойство сложения с нулём. Прибавление нуля к любому числу не изменяет это число: $a + 0 = a$. Это свойство было использовано в конце вычислений.
Ответ: переместительное (коммутативное) свойство сложения, сочетательное (ассоциативное) свойство сложения, свойство противоположных чисел, свойство сложения с нулём.