Номер 5, страница 21, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 1. Глава 1. Выражения, тождества, уравнения. 5. Свойства действий над числами - номер 5, страница 21.

Условие.

5. Верно ли утверждение:

а) чтобы умножить сумму двух чисел на некоторое число, достаточно умножить на это число каждое слагаемое и результаты сложить;

б) чтобы умножить разность двух чисел на некоторое число, достаточно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе;

в) чтобы умножить произведение двух чисел на некоторое число, достаточно умножить на это число каждый множитель и результаты перемножить?

Ответ: а) ........ б) ........ в) ........

Решение.

Решение 2.

а) Это утверждение описывает распределительное свойство умножения относительно сложения, также известное как дистрибутивность. Запишем его в виде формулы. Пусть даны два числа $a$ и $b$, и некоторое число $c$. Тогда, чтобы умножить сумму $(a + b)$ на число $c$, нужно умножить каждое слагаемое на $c$ и сложить результаты: $c \cdot (a + b) = c \cdot a + c \cdot b$. Это свойство является одним из основных законов арифметики.
Проверим на примере. Пусть $a=3$, $b=5$, $c=2$.
Вычислим левую часть: $2 \cdot (3 + 5) = 2 \cdot 8 = 16$.
Вычислим правую часть: $2 \cdot 3 + 2 \cdot 5 = 6 + 10 = 16$.
Так как $16 = 16$, результаты совпадают, следовательно, утверждение верно.
Ответ: верно.

б) Это утверждение описывает распределительное свойство умножения относительно вычитания. Запишем его в виде формулы. Пусть даны два числа $a$ (уменьшаемое) и $b$ (вычитаемое), и некоторое число $c$. Тогда, чтобы умножить разность $(a - b)$ на число $c$, нужно умножить уменьшаемое и вычитаемое на $c$ и из первого произведения вычесть второе: $c \cdot (a - b) = c \cdot a - c \cdot b$. Это свойство также является одним из основных законов арифметики.
Проверим на примере. Пусть $a=10$, $b=4$, $c=3$.
Вычислим левую часть: $3 \cdot (10 - 4) = 3 \cdot 6 = 18$.
Вычислим правую часть: $3 \cdot 10 - 3 \cdot 4 = 30 - 12 = 18$.
Так как $18 = 18$, результаты совпадают, следовательно, утверждение верно.
Ответ: верно.

в) Это утверждение неверно. Проверим его с помощью формулы и примера. Пусть даны два числа (множители) $a$ и $b$, и некоторое число $c$. Утверждение гласит, что $c \cdot (a \cdot b) = (c \cdot a) \cdot (c \cdot b)$.
Раскроем скобки в правой части: $(c \cdot a) \cdot (c \cdot b) = c \cdot a \cdot c \cdot b = a \cdot b \cdot c^2$.
Таким образом, утверждается, что $c \cdot (a \cdot b) = c^2 \cdot (a \cdot b)$. Это равенство выполняется только если $c = c^2$, то есть при $c=0$ или $c=1$. В общем случае оно неверно.
Правильное свойство (сочетательное свойство умножения) выглядит так: $c \cdot (a \cdot b) = (c \cdot a) \cdot b = a \cdot (c \cdot b)$. То есть на число $c$ нужно умножить только один из множителей.
Приведем числовой пример. Пусть $a=2$, $b=3$, $c=4$.
Левая часть: $4 \cdot (2 \cdot 3) = 4 \cdot 6 = 24$.
Правая часть согласно утверждению: $(4 \cdot 2) \cdot (4 \cdot 3) = 8 \cdot 12 = 96$.
Так как $24 \neq 96$, утверждение неверно.
Ответ: неверно.