Номер 8, страница 28, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 1. Глава 1. Выражения, тождества, уравнения. 7. Уравнение и его корни - номер 8, страница 28.

Условие.

8. При каких значениях $b$ уравнение $|x-4|=b-2$:

а) имеет один корень;

б) имеет два корня;

в) не имеет корней?

Ответ: а) .................... б) .................... в) ....................

Решение.

Решение 2.

Данное уравнение имеет вид $|x - 4| = b - 2$. Левая часть уравнения, $|x - 4|$, является модулем, значение которого по определению всегда неотрицательно, то есть $|x - 4| \ge 0$ для любого действительного числа $x$. Количество корней этого уравнения зависит от знака выражения в правой части, то есть от значения $b - 2$. Рассмотрим все возможные случаи.

а) имеет один корень
Уравнение, в котором модуль выражения равен некоторому числу, имеет один корень только в том случае, если это число равно нулю. Следовательно, правая часть нашего уравнения должна быть равна нулю: $b - 2 = 0$ Отсюда находим значение $b$: $b = 2$ При $b = 2$ исходное уравнение принимает вид $|x - 4| = 0$, что равносильно уравнению $x - 4 = 0$. Единственный корень этого уравнения $x = 4$.
Ответ: $b = 2$.

б) имеет два корня
Уравнение будет иметь два корня, если его правая часть будет строго положительной. То есть, должно выполняться неравенство: $b - 2 > 0$ Решая это неравенство, получаем: $b > 2$ При $b > 2$ уравнение $|x - 4| = b - 2$ распадается на два отдельных уравнения: $x - 4 = b - 2$ или $x - 4 = -(b - 2)$. Из первого уравнения получаем корень $x_1 = b + 2$. Из второго уравнения получаем корень $x_2 = 4 - (b - 2) = 6 - b$. Поскольку по условию $b > 2$, корни $x_1$ и $x_2$ всегда различны.
Ответ: $b > 2$.

в) не имеет корней
Уравнение не будет иметь действительных корней, если его правая часть будет отрицательной, так как неотрицательная величина (модуль) не может быть равна отрицательному числу. Следовательно, должно выполняться неравенство: $b - 2 < 0$ Решая это неравенство, получаем: $b < 2$ При $b < 2$ выражение $b - 2$ отрицательно, а выражение $|x - 4|$ неотрицательно, поэтому равенство невозможно и уравнение не имеет корней.
Ответ: $b < 2$.