Номер 14, страница 33, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 1. Глава 1. Выражения, тождества, уравнения. 8. Линейное уравнение с одной переменной - номер 14, страница 33.

Условие.

14. При каких значениях b уравнение $bx = 3b - 2$:

а) имеет один корень;

б) имеет бесконечно много корней;

в) не имеет корней?

Ответ: а) ............ б) ............ в) ............

Решение.

Решение 2.

Данное уравнение $bx = 3b - 2$ является линейным уравнением вида $ax = c$, где $a = b$ и $c = 3b - 2$. Количество корней такого уравнения зависит от значений коэффициента $a$ и свободного члена $c$.

а) имеет один корень
Линейное уравнение имеет единственный корень, когда коэффициент при неизвестном $x$ не равен нулю. В данном случае это означает, что $b \neq 0$.
Если $b \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $b$ и найти единственный корень:
$x = \frac{3b - 2}{b}$
Таким образом, уравнение имеет один корень при любом значении $b$, кроме нуля.
Ответ: при $b \neq 0$.

б) имеет бесконечно много корней
Уравнение имеет бесконечно много корней, если оно представляет собой тождество $0 \cdot x = 0$. Это возможно только в том случае, когда коэффициент при $x$ и свободный член одновременно равны нулю.
Для нашего уравнения это означает выполнение системы условий:
$\begin{cases} b = 0 \\ 3b - 2 = 0 \end{cases}$
Из первого уравнения системы следует, что $b = 0$. Из второго уравнения получаем $3b = 2$, то есть $b = \frac{2}{3}$.
Поскольку $b$ не может одновременно быть равным $0$ и $\frac{2}{3}$, эта система не имеет решений. Следовательно, не существует такого значения $b$, при котором уравнение имело бы бесконечно много корней.
Ответ: таких значений $b$ не существует.

в) не имеет корней
Уравнение не имеет корней, если оно принимает вид $0 \cdot x = c$, где $c$ — число, не равное нулю. Это происходит, когда коэффициент при $x$ равен нулю, а свободный член — нет.
Для нашего уравнения это означает выполнение системы условий:
$\begin{cases} b = 0 \\ 3b - 2 \neq 0 \end{cases}$
Проверим второе условие при $b = 0$:
$3 \cdot 0 - 2 = -2$
Так как $-2 \neq 0$, второе условие выполняется. Следовательно, при $b=0$ уравнение принимает вид $0 \cdot x = -2$, которое не имеет решений.
Ответ: при $b = 0$.