Номер 18, страница 34, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 1. Глава 1. Выражения, тождества, уравнения. 8. Линейное уравнение с одной переменной - номер 18, страница 34.

Условие.

18. Найдите все натуральные значения $a$, при которых корень уравнения $ax - 16 = 5x - 1$ является натуральным числом.

Решение.

Решение 2.

Дано уравнение $ax - 16 = 5x - 1$. По условию задачи, параметр $a$ и корень уравнения $x$ должны быть натуральными числами. Натуральные числа — это целые положительные числа: $1, 2, 3, \ldots$.

Для начала выразим $x$ из уравнения. Перенесем все слагаемые, содержащие $x$, в левую часть, а постоянные члены — в правую:
$ax - 5x = 16 - 1$

Вынесем $x$ за скобку в левой части:
$x(a - 5) = 15$

Если предположить, что $a - 5 = 0$ (то есть $a = 5$), уравнение примет вид $x \cdot 0 = 15$, что равносильно $0 = 15$. Это неверное равенство, значит, при $a=5$ уравнение не имеет корней. Следовательно, $a \neq 5$.

Поскольку $a \neq 5$, мы можем разделить обе части уравнения на $(a - 5)$:
$x = \frac{15}{a - 5}$

Согласно условию, $x$ должен быть натуральным числом. Это означает, что значение дроби $\frac{15}{a-5}$ должно быть целым и положительным.

1. Чтобы дробь была положительной, знаменатель $(a - 5)$ должен иметь тот же знак, что и числитель 15. Так как 15 — положительное число, то и знаменатель должен быть положительным:
$a - 5 > 0$
$a > 5$

2. Чтобы дробь была целым числом, ее знаменатель $(a - 5)$ должен быть делителем числителя 15.

Найдем все натуральные (положительные) делители числа 15. Это числа: 1, 3, 5, 15.

Таким образом, выражение $(a-5)$ должно быть равно одному из этих чисел. Рассмотрим все возможные варианты:

1) $a - 5 = 1 \implies a = 6$. При этом корень $x = \frac{15}{1} = 15$. Значения $a=6$ и $x=15$ являются натуральными, что удовлетворяет условию.

2) $a - 5 = 3 \implies a = 8$. При этом корень $x = \frac{15}{3} = 5$. Значения $a=8$ и $x=5$ являются натуральными.

3) $a - 5 = 5 \implies a = 10$. При этом корень $x = \frac{15}{5} = 3$. Значения $a=10$ и $x=3$ являются натуральными.

4) $a - 5 = 15 \implies a = 20$. При этом корень $x = \frac{15}{15} = 1$. Значения $a=20$ и $x=1$ являются натуральными.

Мы нашли все возможные натуральные значения $a$, при которых корень уравнения также является натуральным числом.

Ответ: 6, 8, 10, 20.