Номер 15, страница 74, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 1. Глава 3. Степень с натуральным показателем. 16. Определение степени с натуральным показателем - номер 15, страница 74.

Условие.

15. Подчеркните выражения, которые при любом значении a принимают положительные значения:

$a^4$, $(-a)^4+1$, $-a^4+6$, $(-1-a)^4$, $(a-8)^4+16$, $(-a-3)^4+1$.

Решение.

Решение 2.

Чтобы определить, какие из предложенных выражений принимают положительные значения при любом значении $a$, необходимо проанализировать каждое из них. Основное свойство, которое мы будем использовать: любое действительное число, возведенное в четную степень (в данном случае, в 4-ю степень), является неотрицательным, то есть больше или равно нулю ($x^4 \ge 0$). Выражение считается положительным, если оно строго больше нуля ($> 0$).

$a^4$

Выражение $a^4$ представляет собой переменную $a$ в четвертой степени. Так как степень 4 — четное число, то $a^4 \ge 0$ при любом значении $a$. Однако, если $a=0$, то $a^4 = 0^4 = 0$. Так как выражение может быть равно нулю, оно не является положительным при любом значении $a$. Ответ: не принимает положительные значения при любом $a$.

$(-a)^4 + 1$

Рассмотрим первое слагаемое $(-a)^4$. Поскольку степень 4 — четное число, то $(-a)^4 = a^4$. Мы знаем, что $a^4 \ge 0$ для любого $a$. Следовательно, все выражение можно переписать как $a^4 + 1$. Поскольку минимальное значение $a^4$ равно 0 (при $a=0$), минимальное значение всего выражения будет $0 + 1 = 1$. Таким образом, $a^4 + 1 \ge 1$. Так как $1 > 0$, данное выражение всегда положительно. Ответ: принимает положительные значения при любом $a$.

$-a^4 + 6$

Мы знаем, что $a^4 \ge 0$. При умножении на -1 знак неравенства меняется, поэтому $-a^4 \le 0$. Это означает, что слагаемое $-a^4$ всегда неположительно. Проверим, может ли все выражение быть отрицательным или равным нулю. Возьмем, например, $a=2$. Тогда $-a^4 + 6 = -(2^4) + 6 = -16 + 6 = -10$. Так как мы нашли значение $a$, при котором выражение отрицательно, оно не является положительным при любом $a$. Ответ: не принимает положительные значения при любом $a$.

$(-1-a)^4$

Это выражение представляет собой скобку $(-1-a)$, возведенную в четвертую степень. Так как степень 4 — четное число, значение всего выражения будет неотрицательным, то есть $(-1-a)^4 \ge 0$. Проверим, может ли выражение быть равно нулю. Это произойдет, если основание степени равно нулю: $-1-a = 0$, что верно при $a=-1$. В этом случае $(-1-(-1))^4 = 0^4 = 0$. Поскольку выражение может быть равно нулю, оно не является строго положительным при любом $a$. Ответ: не принимает положительные значения при любом $a$.

$(a-8)^4 + 16$

Рассмотрим слагаемое $(a-8)^4$. Это выражение в четной степени, поэтому $(a-8)^4 \ge 0$ при любом $a$. Минимальное значение (0) достигается при $a=8$. Ко всему выражению прибавляется 16. Таким образом, $(a-8)^4 + 16 \ge 0 + 16$, то есть $(a-8)^4 + 16 \ge 16$. Так как $16 > 0$, данное выражение всегда положительно. Ответ: принимает положительные значения при любом $a$.

$(-a-3)^4 + 1$

Рассмотрим слагаемое $(-a-3)^4$. Выражение в скобках возводится в четную степень 4, следовательно, $(-a-3)^4 \ge 0$ при любом $a$. Минимальное значение (0) достигается, когда $-a-3=0$, то есть при $a=-3$. Ко всему выражению прибавляется 1. Таким образом, $(-a-3)^4 + 1 \ge 0 + 1$, то есть $(-a-3)^4 + 1 \ge 1$. Так как $1 > 0$, данное выражение всегда положительно. Ответ: принимает положительные значения при любом $a$.

Итог: Выражения, которые принимают положительные значения при любом значении $a$: $(-a)^4 + 1$, $(a-8)^4 + 16$, $(-a-3)^4 + 1$.