Номер 17, страница 74, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 1. Глава 3. Степень с натуральным показателем. 16. Определение степени с натуральным показателем - номер 17, страница 74.

Условие.

17. Расположите в порядке возрастания числа 3, 333, $3^3$, $3^{33}$, $33^3$.

Решение.

Решение 2.

Для того чтобы расположить числа $3, 333, 3^3, 3^{33}, 33^3$ в порядке возрастания, необходимо сравнить их значения.

1. Сначала вычислим значения, которые легко поддаются расчету:
$3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$.
$33^3 = 33 \cdot 33 \cdot 33 = 1089 \cdot 33 = 35937$.

2. Теперь у нас есть следующий набор чисел: $3, 333, 27, 3^{33}, 35937$.
Сравним сначала числа с известными значениями: $3, 27, 333, 35937$.
Расположив их в порядке возрастания, получаем: $3 < 27 < 333 < 35937$.
Подставив обратно исходные выражения, получаем: $3 < 3^3 < 333 < 33^3$.

3. Осталось определить место числа $3^{33}$ в этой последовательности. Для этого сравним его с наибольшим из уже упорядоченных чисел, $33^3$.
Чтобы сравнить $3^{33}$ и $33^3$, можно воспользоваться следующим приемом:
$3^{33} = (3^{11})^3$.
Теперь мы сравниваем $(3^{11})^3$ и $33^3$. Поскольку показатели степени у обоих выражений одинаковы (равны 3), достаточно сравнить их основания: $3^{11}$ и $33$.

4. Вычислим значение $3^{11}$:
$3^2 = 9$
$3^4 = 81$
$3^5 = 3^4 \cdot 3 = 81 \cdot 3 = 243$.
Даже $3^5$ уже значительно больше, чем $33$, поэтому $3^{11}$ будет тем более больше.
Проведем полное вычисление для точности: $3^{11} = 3^5 \cdot 3^5 \cdot 3 = 243 \cdot 243 \cdot 3 = 59049 \cdot 3 = 177147$.
Так как $177147 > 33$, то $3^{11} > 33$.
Следовательно, $(3^{11})^3 > 33^3$, что означает $3^{33} > 33^3$.

5. Объединив все полученные неравенства, мы можем выстроить итоговый ряд чисел в порядке возрастания:
$3 < 3^3 < 333 < 33^3 < 3^{33}$.

Ответ: $3, 3^3, 333, 33^3, 3^{33}$.