Номер 14, страница 11, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 4. Многочлены. 23. Сложение и вычитание многочленов - номер 14, страница 11.

Условие.

14. Докажите, что:

а) сумма трёх последовательных нечётных чисел делится на 3; б) сумма четырёх последовательных нечётных чисел делится на 8.

Решение.

Решение 2.

а)

Любое нечётное число можно представить в виде $2k+1$, где $k$ – целое число. Чтобы представить три последовательных нечётных числа, мы можем взять за основу среднее число и отталкиваться от него. Пусть среднее нечётное число равно $2k+1$.

Поскольку нечётные числа идут через одно, то предыдущее нечётное число будет на 2 меньше, то есть $(2k+1)-2 = 2k-1$.

Следующее нечётное число будет на 2 больше, то есть $(2k+1)+2 = 2k+3$.

Таким образом, мы получили три последовательных нечётных числа: $2k-1$, $2k+1$ и $2k+3$.

Найдём их сумму:

$ S = (2k-1) + (2k+1) + (2k+3) $

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

$ S = 2k - 1 + 2k + 1 + 2k + 3 = (2k+2k+2k) + (-1+1+3) = 6k + 3 $

Вынесем общий множитель 3 за скобки:

$ S = 3(2k+1) $

Так как $k$ является целым числом, то выражение $2k+1$ также является целым числом. Сумма представляет собой произведение числа 3 и целого числа, а значит, она всегда делится на 3 без остатка.

Ответ: что и требовалось доказать.

б)

Аналогично пункту а), представим четыре последовательных нечётных числа. Удобно выбрать их так, чтобы они были симметричны относительно некоторой точки. Пусть это будут числа: $2k-3$, $2k-1$, $2k+1$ и $2k+3$. Каждое следующее число больше предыдущего на 2, значит, они являются последовательными нечётными.

Найдём их сумму:

$ S = (2k-3) + (2k-1) + (2k+1) + (2k+3) $

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

$ S = 2k - 3 + 2k - 1 + 2k + 1 + 2k + 3 = (2k+2k+2k+2k) + (-3-1+1+3) = 8k $

Полученное выражение $8k$ представляет собой произведение числа 8 и целого числа $k$. Следовательно, оно по определению делится на 8 без остатка.

Ответ: что и требовалось доказать.