Номер 17, страница 12, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 4. Многочлены. 23. Сложение и вычитание многочленов - номер 17, страница 12.

Условие.

17. Докажите, что при любом значении $x$ разность многочленов $1\frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{8}x^3 - 2\frac{3}{4}x^2 - \frac{1}{5}x - \frac{2}{7}$ и $2,25x^4 + 0,125x^3 - 1,75x^2 - 0,2x + \frac{5}{7}$ принимает отрицательное значение.

Решение.

Решение 2.

Чтобы доказать, что разность данных многочленов при любом значении $x$ принимает отрицательное значение, найдем эту разность. Обозначим первый многочлен как $P_1(x) = 1\frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{8}x^3 - 2\frac{3}{4}x^2 - \frac{1}{5}x - \frac{2}{7}$ и второй как $P_2(x) = 2.25x^4 + 0.125x^3 - 1.75x^2 - 0.2x + \frac{5}{7}$.
Для удобства вычислений приведем все коэффициенты к единому виду — к обыкновенным дробям.
$1\frac{1}{4} = \frac{5}{4}$; $2\frac{3}{4} = \frac{11}{4}$;
$2.25 = \frac{225}{100} = \frac{9}{4}$; $0.125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$; $1.75 = \frac{175}{100} = \frac{7}{4}$; $0.2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
Теперь найдем разность $P_1(x) - P_2(x)$:
$P_1(x) - P_2(x) = \left( \frac{5}{4}x^4 + \frac{1}{8}x^3 - \frac{11}{4}x^2 - \frac{1}{5}x - \frac{2}{7} \right) - \left( \frac{9}{4}x^4 + \frac{1}{8}x^3 - \frac{7}{4}x^2 - \frac{1}{5}x + \frac{5}{7} \right)$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$\left(\frac{5}{4} - \frac{9}{4}\right)x^4 + \left(\frac{1}{8} - \frac{1}{8}\right)x^3 + \left(-\frac{11}{4} - \left(-\frac{7}{4}\right)\right)x^2 + \left(-\frac{1}{5} - \left(-\frac{1}{5}\right)\right)x + \left(-\frac{2}{7} - \frac{5}{7}\right) =$
$= -\frac{4}{4}x^4 + 0 \cdot x^3 + \left(-\frac{11}{4} + \frac{7}{4}\right)x^2 + 0 \cdot x - \frac{7}{7} = -x^4 - x^2 - 1$.
Проанализируем полученное выражение $-x^4 - x^2 - 1$.
Для любого действительного числа $x$ значения $x^4$ и $x^2$ являются неотрицательными, так как любое число в четной степени не может быть отрицательным: $x^4 \ge 0$ и $x^2 \ge 0$.
Следовательно, их сумма $x^4 + x^2 \ge 0$.
Прибавив к этой сумме 1, получим, что выражение $x^4 + x^2 + 1$ всегда будет больше или равно 1: $x^4 + x^2 + 1 \ge 1$.
Таким образом, выражение $x^4 + x^2 + 1$ всегда положительно.
Так как перед этим положительным выражением стоит знак минус, итоговое выражение $-x^4 - x^2 - 1 = -(x^4 + x^2 + 1)$ всегда будет отрицательным (более того, оно будет меньше или равно $-1$).
Это доказывает, что разность многочленов при любом значении $x$ принимает отрицательное значение.
Ответ: Разность многочленов равна $-x^4 - x^2 - 1$. Так как для любого действительного $x$ выполняются неравенства $x^4 \ge 0$ и $x^2 \ge 0$, то их сумма $x^4 + x^2 \ge 0$, а значит $x^4 + x^2 + 1 \ge 1$. Следовательно, выражение $-(x^4 + x^2 + 1) \le -1$, что доказывает, что разность всегда отрицательна.