Номер 7, страница 16, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 4. Многочлены. 24. Умножение одночлена на многочлен - номер 7, страница 16.

Условие.

7. Справедливо ли утверждение, что при любом значении переменной y значение выражения

$15y^2(y^2 - 2y + 4) - 3y(8 - 10y^2 + 7y) + 12(3 + 2y)$

является положительным числом?

Решение.

Решение 2.

Для того чтобы проверить справедливость утверждения, необходимо упростить данное выражение. Для этого раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

Исходное выражение:

$15y^2(y^2 - 2y + 4) - 3y(8 - 10y^2 + 7y) + 12(3 + 2y)$

Последовательно раскрываем скобки в каждом слагаемом:

$15y^2 \cdot y^2 + 15y^2 \cdot (-2y) + 15y^2 \cdot 4 - 3y \cdot 8 - 3y \cdot (-10y^2) - 3y \cdot 7y + 12 \cdot 3 + 12 \cdot 2y = $

$= 15y^4 - 30y^3 + 60y^2 - 24y + 30y^3 - 21y^2 + 36 + 24y$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые, то есть сложим коэффициенты при одинаковых степенях переменной $y$:

$(15y^4) + (-30y^3 + 30y^3) + (60y^2 - 21y^2) + (-24y + 24y) + 36 = $

$= 15y^4 + 0 \cdot y^3 + 39y^2 + 0 \cdot y + 36$

В результате упрощения получаем выражение:

$15y^4 + 39y^2 + 36$

Проанализируем полученное выражение, чтобы определить его знак при любом значении $y$.

1. Слагаемое $15y^4$: поскольку $y^4 = (y^2)^2$, это значение всегда неотрицательно, то есть $y^4 \ge 0$ для любого $y$. Произведение положительного числа $15$ и неотрицательного $y^4$ также будет неотрицательным: $15y^4 \ge 0$.

2. Слагаемое $39y^2$: значение $y^2$ всегда неотрицательно, то есть $y^2 \ge 0$ для любого $y$. Произведение положительного числа $39$ и неотрицательного $y^2$ также будет неотрицательным: $39y^2 \ge 0$.

3. Слагаемое $36$ является положительным числом.

Выражение $15y^4 + 39y^2 + 36$ представляет собой сумму двух неотрицательных слагаемых ($15y^4$ и $39y^2$) и одного строго положительного слагаемого (36). Сумма неотрицательного числа и положительного числа всегда является положительным числом. Наименьшее значение данное выражение принимает при $y=0$:

$15 \cdot (0)^4 + 39 \cdot (0)^2 + 36 = 0 + 0 + 36 = 36$

Так как наименьшее возможное значение выражения равно $36$, а $36 > 0$, то при любом значении переменной $y$ значение данного выражения будет положительным числом.

Ответ: Да, утверждение справедливо.