Номер 10, страница 85, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 6. Системы линейных уравнений. 37. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 10, страница 85.

Условие.

10. При каком значении $a$ система уравнений

$\begin{cases} 4x - 5y = 10, \\ 10x - 12.5y = a \end{cases}$

имеет бесконечно много решений? Укажите какие-либо три её решения.

Решение.

Решение 2.

Для того чтобы система линейных уравнений $ \begin{cases} A_1x + B_1y = C_1 \\ A_2x + B_2y = C_2 \end{cases} $ имела бесконечно много решений, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты при переменных и свободные члены были пропорциональны. Геометрически это означает, что оба уравнения описывают одну и ту же прямую. Математически это условие выражается так: $ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} $

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 4x - 5y = 10 \\ 10x - 12,5y = a \end{cases} $

При каком значении a система уравнений имеет бесконечно много решений?

Для данной системы коэффициенты равны: $A_1 = 4$, $B_1 = -5$, $C_1 = 10$ и $A_2 = 10$, $B_2 = -12,5$, $C_2 = a$. Подставим эти значения в условие пропорциональности: $ \frac{4}{10} = \frac{-5}{-12,5} = \frac{10}{a} $

Сначала проверим равенство отношений коэффициентов при $x$ и $y$: $ \frac{4}{10} = 0,4 $
$ \frac{-5}{-12,5} = \frac{5}{12,5} = \frac{5 \cdot 2}{12,5 \cdot 2} = \frac{10}{25} = 0,4 $
Отношения равны, значит, прямые либо параллельны, либо совпадают.

Теперь найдем значение $a$, при котором и отношение свободных членов будет таким же, что обеспечит совпадение прямых. $ \frac{4}{10} = \frac{10}{a} $
Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем: $ 4 \cdot a = 10 \cdot 10 $
$ 4a = 100 $
$ a = \frac{100}{4} $
$ a = 25 $

Ответ: Система имеет бесконечно много решений при $a=25$.

Укажите какие-либо три её решения.

При $a=25$ система уравнений принимает вид, где второе уравнение является следствием первого (получено умножением первого на 2,5). Поэтому для нахождения решений достаточно использовать только одно уравнение, например, первое: $ 4x - 5y = 10 $

Выразим одну переменную через другую. Удобнее выразить $y$ через $x$: $ 5y = 4x - 10 $
$ y = \frac{4x - 10}{5} $ или $ y = \frac{4}{5}x - 2 $

Теперь, задавая произвольные значения $x$, можно находить соответствующие значения $y$.

1. Пусть $x=0$. Подставим это значение в выражение для $y$: $ y = \frac{4}{5} \cdot 0 - 2 = -2 $
   Получаем решение: $(0; -2)$.
2. Пусть $x=5$. Это значение удобно, так как оно кратно знаменателю 5: $ y = \frac{4}{5} \cdot 5 - 2 = 4 - 2 = 2 $
   Получаем решение: $(5; 2)$.
3. Пусть $x=2,5$. $ y = \frac{4}{5} \cdot 2,5 - 2 = \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{2} - 2 = 2 - 2 = 0 $
   Получаем решение: $(2,5; 0)$.

Ответ: Три возможных решения системы: $(0; -2)$, $(5; 2)$ и $(2,5; 0)$.