Номер 12, страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 6. Системы линейных уравнений. 37. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 12, страница 86.

Условие.

12. Приведите пример какого-либо линейного уравнения с двумя переменными, которое вместе с уравнением $7x + 12y = 2$ составило бы систему:

а) имеющую одно решение:

б) имеющую бесконечно много решений:

в) не имеющую решений:

Решение.

Решение 2.

а) имеющую одно решение:

Система двух линейных уравнений с двумя переменными имеет единственное решение, если графики этих уравнений (прямые) пересекаются в одной точке. Это происходит, когда их угловые коэффициенты не равны. Для системы уравнений вида $a_1x + b_1y = c_1$ и $a_2x + b_2y = c_2$ это условие выражается как неравенство отношений коэффициентов при переменных: $$ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} $$ В исходном уравнении $7x + 12y = 2$ коэффициенты $a_1 = 7$ и $b_1 = 12$. Нам нужно подобрать второе уравнение $a_2x + b_2y = c_2$, для которого $\frac{7}{a_2} \neq \frac{12}{b_2}$. Можно выбрать очень простое уравнение, например, $x+y=1$. В этом случае $a_2 = 1$ и $b_2 = 1$. Проверим условие: $$ \frac{7}{1} \neq \frac{12}{1} $$ Поскольку $7 \neq 12$, условие выполняется. Таким образом, система, состоящая из уравнений $7x + 12y = 2$ и $x+y=1$, будет иметь одно решение.

Ответ: $x+y=1$

б) имеющую бесконечно много решений:

Система имеет бесконечно много решений, если оба уравнения описывают одну и ту же прямую. Это означает, что одно уравнение можно получить из другого умножением на некоторое ненулевое число. Для системы уравнений вида $a_1x + b_1y = c_1$ и $a_2x + b_2y = c_2$ это условие выражается как пропорциональность всех коэффициентов: $$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $$ Для нашего уравнения $7x + 12y = 2$ ($a_1 = 7$, $b_1 = 12$, $c_1 = 2$) мы можем получить искомое уравнение, умножив все его части на любое число, например, на 2. $$ (7x + 12y) \cdot 2 = 2 \cdot 2 $$ $$ 14x + 24y = 4 $$ Для этого уравнения $a_2 = 14$, $b_2 = 24$ и $c_2 = 4$. Проверим условие: $$ \frac{7}{14} = \frac{12}{24} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$ Условие выполняется, значит, система из этих двух уравнений имеет бесконечно много решений.

Ответ: $14x + 24y = 4$

в) не имеющую решений:

Система не имеет решений, если графики уравнений являются параллельными, но не совпадающими прямыми. Это происходит, когда коэффициенты при переменных пропорциональны, а свободные члены — нет. Для системы уравнений вида $a_1x + b_1y = c_1$ и $a_2x + b_2y = c_2$ это условие выглядит так: $$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} $$ Для уравнения $7x + 12y = 2$ ($a_1 = 7$, $b_1 = 12$, $c_1 = 2$) нам нужно составить второе уравнение, у которого левая часть будет пропорциональна $7x + 12y$, а правая часть — нет. Самый простой способ — взять те же коэффициенты при $x$ и $y$ и изменить свободный член. Например, пусть второе уравнение будет $7x + 12y = 3$. В этом случае $a_2=7$, $b_2=12$, $c_2=3$. Проверим условие: $$ \frac{7}{7} = \frac{12}{12} = 1 \quad \text{и} \quad \frac{2}{3} $$ Поскольку $1 \neq \frac{2}{3}$, условие выполнено. Система не будет иметь решений.

Ответ: $7x + 12y = 3$