Номер 11, страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 6. Системы линейных уравнений. 37. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 11, страница 86.

Условие.

11. Дана система уравнений

${ \begin{cases} x + y = 8, \\ mx + 3y = n. \end{cases} }$

Укажите такие значения m и n, при которых система:

а) имеет одно решение;

б) имеет бесконечно много решений;

в) не имеет решений.

Ответ: а) .................... б) .................... в) ....................

Решение.

Решение 2.

Дана система линейных уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 8 \\ mx + 3y = n \end{cases} $

Количество решений системы двух линейных уравнений с двумя переменными $\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$ зависит от соотношения их коэффициентов. В нашем случае $a_1=1$, $b_1=1$, $c_1=8$, $a_2=m$, $b_2=3$, $c_2=n$.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

а) имеет одно решение

Система имеет единственное решение, если прямые, заданные уравнениями, пересекаются в одной точке. Это происходит, когда отношение коэффициентов при $x$ не равно отношению коэффициентов при $y$:
$\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$
Подставим значения из нашей системы:
$\frac{1}{m} \neq \frac{1}{3}$
Из этого неравенства следует, что $m \neq 3$. При этом значение $n$ может быть любым, так как оно не влияет на наклон прямых.
Ответ: $m \neq 3$, $n$ – любое число.

б) имеет бесконечно много решений

Система имеет бесконечно много решений, если прямые, заданные уравнениями, совпадают. Это происходит, когда все коэффициенты одного уравнения пропорциональны коэффициентам другого:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$
Подставим наши значения:
$\frac{1}{m} = \frac{1}{3} = \frac{8}{n}$
Из первого равенства $\frac{1}{m} = \frac{1}{3}$ получаем $m = 3$.
Из второго равенства $\frac{1}{3} = \frac{8}{n}$ получаем $n = 3 \cdot 8 = 24$.
Таким образом, для бесконечного числа решений необходимо, чтобы $m=3$ и $n=24$.
Ответ: $m=3$, $n=24$.

в) не имеет решений

Система не имеет решений, если прямые, заданные уравнениями, параллельны, но не совпадают. Это происходит, когда отношения коэффициентов при переменных равны, но не равны отношению свободных членов:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$
Подставим наши значения:
$\frac{1}{m} = \frac{1}{3} \neq \frac{8}{n}$
Из равенства $\frac{1}{m} = \frac{1}{3}$ получаем $m = 3$.
Из неравенства $\frac{1}{3} \neq \frac{8}{n}$ получаем $n \neq 3 \cdot 8$, то есть $n \neq 24$.
Таким образом, система не имеет решений при $m=3$ и любом $n$, не равном 24.
Ответ: $m=3$, $n \neq 24$.