Номер 7, страница 84, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 6. Системы линейных уравнений. 37. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 7, страница 84.

Условие.

7. Выясните, имеет ли система уравнений решения и сколько:

а) $\begin{cases} 2y - 6x = 5, \\ -y + 3x = 8; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 5x - y = 3, \\ -x + y = 1. \end{cases}$

Решение.

Решение 2.

а)

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases} 2y - 6x = 5 \\ -y + 3x = 8 \end{cases}$

Для того чтобы определить количество решений, можно привести уравнения к стандартному виду $ax + by = c$ и сравнить коэффициенты, либо попытаться решить систему.

Способ 1: Сравнение коэффициентов.

Приведем уравнения к стандартному виду:

$\begin{cases} -6x + 2y = 5 \\ 3x - y = 8 \end{cases}$

Для системы вида $\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$ количество решений зависит от соотношения коэффициентов.

В нашем случае $a_1 = -6, b_1 = 2, c_1 = 5$ и $a_2 = 3, b_2 = -1, c_2 = 8$.

Найдем отношения коэффициентов при $x$ и $y$:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{-6}{3} = -2$

$\frac{b_1}{b_2} = \frac{2}{-1} = -2$

Так как отношения коэффициентов при переменных равны, посмотрим на отношение свободных членов:

$\frac{c_1}{c_2} = \frac{5}{8}$

Мы получили, что $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ (то есть $-2 = -2 \neq \frac{5}{8}$). Это означает, что графики уравнений — параллельные прямые, которые никогда не пересекаются. Следовательно, система не имеет решений.

Способ 2: Метод подстановки.

Выразим $y$ из второго уравнения:

$-y = 8 - 3x$

$y = 3x - 8$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$2(3x - 8) - 6x = 5$

$6x - 16 - 6x = 5$

$-16 = 5$

Полученное равенство является неверным. Это указывает на то, что система не имеет решений.

Ответ: система не имеет решений.

б)

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases} 5x - y = 3 \\ -x + y = 1 \end{cases}$

Способ 1: Сравнение коэффициентов.

Уравнения уже находятся в стандартном виде. Здесь $a_1 = 5, b_1 = -1$ и $a_2 = -1, b_2 = 1$.

Найдем отношения коэффициентов:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{5}{-1} = -5$

$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-1}{1} = -1$

Поскольку $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ ($-5 \neq -1$), графики уравнений пересекаются в одной точке. Следовательно, система имеет единственное решение.

Способ 2: Метод алгебраического сложения.

Коэффициенты при переменной $y$ являются противоположными числами ($-1$ и $1$), поэтому удобно сложить два уравнения:

$(5x - y) + (-x + y) = 3 + 1$

$5x - x - y + y = 4$

$4x = 4$

$x = 1$

Теперь подставим найденное значение $x = 1$ в любое из уравнений системы, например, во второе, чтобы найти $y$:

$-x + y = 1$

$-1 + y = 1$

$y = 1 + 1$

$y = 2$

Таким образом, система имеет одно-единственное решение $(1; 2)$.

Ответ: система имеет одно решение.