Номер 13, страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 6. Системы линейных уравнений. 37. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 13, страница 86.

Условие.

13. Докажите, что система уравнений $\begin{cases} 2x + y = 5, \\ 2y = 6 - 4x \end{cases}$ не имеет решений:

а) используя алгебраические преобразования

б) с помощью графиков

x: ___ ___ ___

y: ___ ___ ___

x: ___ ___ ___

y: ___ ___ ___

y, 1, 0, 1, x

Решение.

Решение 2.

а) используя алгебраические преобразования

Рассмотрим данную систему уравнений:

$ \begin{cases} 2x + y = 5 \\ 2y = 6 - 4x \end{cases} $

Преобразуем второе уравнение. Для этого перенесем слагаемое с $x$ в левую часть и разделим все уравнение на 2:

$2y = 6 - 4x$

$4x + 2y = 6$

$2x + y = 3$

Теперь система уравнений выглядит следующим образом:

$ \begin{cases} 2x + y = 5 \\ 2x + y = 3 \end{cases} $

Из этой системы видно, что одно и то же выражение $2x + y$ должно быть одновременно равно и 5, и 3, что невозможно. Для наглядности вычтем из первого уравнения второе:

$(2x + y) - (2x + y) = 5 - 3$

$0 = 2$

Мы получили неверное числовое равенство. Это означает, что не существует таких значений $x$ и $y$, которые бы удовлетворяли обоим уравнениям системы одновременно.

Ответ: так как в результате алгебраических преобразований было получено противоречие ($0=2$), система уравнений не имеет решений.

б) с помощью графиков

Чтобы решить систему уравнений графически, нужно построить графики для каждого уравнения в одной системе координат. Решением системы являются координаты точек пересечения этих графиков.

Для построения приведем оба уравнения к виду линейной функции $y = kx + b$.

1. Уравнение $2x + y = 5$. Выразим $y$:

$y = -2x + 5$

Это линейная функция, график которой — прямая. Для ее построения найдем координаты двух точек, заполнив таблицу:

x	1	2
y	3	1

2. Уравнение $2y = 6 - 4x$. Выразим $y$, разделив обе части на 2:

$y = \frac{6-4x}{2}$

$y = 3 - 2x$ или $y = -2x + 3$

Это также линейная функция. Найдем координаты двух точек для ее графика:

x	0	1
y	3	1

Сравнив уравнения $y = -2x + 5$ и $y = -2x + 3$, мы видим, что у них одинаковые угловые коэффициенты $k = -2$, но разные свободные члены ($b_1 = 5$ и $b_2 = 3$). Это означает, что графики данных функций — параллельные прямые.

Построив графики по точкам в координатной плоскости, мы получим две прямые, которые не пересекаются.

Ответ: так как графики уравнений являются параллельными прямыми, у них нет точек пересечения, следовательно, система не имеет решений.