Номер 7, страница 89, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 6. Системы линейных уравнений. 38. Способ подстановки - номер 7, страница 89.

Условие.

7. Решите систему уравнений методом подстановки:

a) $\begin{cases} 3a - 2b = 12, \\ 2a - 5b = 19; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 4a + 5b = 6, \\ -2a + 3b = 8. \end{cases}$

Решение.

Решение 2.

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3a - 2b = 12, \\ 2a - 5b = 19. \end{cases} $

Метод подстановки заключается в том, чтобы выразить одну переменную через другую из одного уравнения и подставить это выражение в другое уравнение. Выразим переменную $a$ из первого уравнения:

$3a = 12 + 2b$

$a = \frac{12 + 2b}{3}$

Теперь подставим это выражение для $a$ во второе уравнение системы:

$2 \cdot (\frac{12 + 2b}{3}) - 5b = 19$

Решим полученное уравнение относительно $b$. Сначала умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от знаменателя:

$2(12 + 2b) - 3 \cdot 5b = 19 \cdot 3$

$24 + 4b - 15b = 57$

Приведем подобные слагаемые:

$24 - 11b = 57$

$-11b = 57 - 24$

$-11b = 33$

$b = \frac{33}{-11}$

$b = -3$

Теперь, зная значение $b$, найдем значение $a$, подставив $b = -3$ в ранее полученное выражение для $a$:

$a = \frac{12 + 2(-3)}{3} = \frac{12 - 6}{3} = \frac{6}{3} = 2$

Итак, решение системы: $a = 2$, $b = -3$.

Выполним проверку, подставив найденные значения в оба исходных уравнения:

1) $3(2) - 2(-3) = 6 + 6 = 12$

2) $2(2) - 5(-3) = 4 + 15 = 19$

Оба равенства верны.

Ответ: $a = 2, b = -3$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 4a + 5b = 6, \\ -2a + 3b = 8. \end{cases} $

Выразим переменную $a$ из второго уравнения, так как это проще:

$-2a = 8 - 3b$

Умножим обе части на -1:

$2a = 3b - 8$

$a = \frac{3b - 8}{2}$

Подставим это выражение для $a$ в первое уравнение системы:

$4 \cdot (\frac{3b - 8}{2}) + 5b = 6$

Сократим дробь:

$2(3b - 8) + 5b = 6$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $b$:

$6b - 16 + 5b = 6$

$11b - 16 = 6$

$11b = 6 + 16$

$11b = 22$

$b = \frac{22}{11}$

$b = 2$

Теперь найдем значение $a$, подставив $b = 2$ в выражение для $a$:

$a = \frac{3(2) - 8}{2} = \frac{6 - 8}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Итак, решение системы: $a = -1$, $b = 2$.

Выполним проверку, подставив найденные значения в оба исходных уравнения:

1) $4(-1) + 5(2) = -4 + 10 = 6$

2) $-2(-1) + 3(2) = 2 + 6 = 8$

Оба равенства верны.

Ответ: $a = -1, b = 2$.