Номер 9, страница 90, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 6. Системы линейных уравнений. 38. Способ подстановки - номер 9, страница 90.

Условие.

9. Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} 2(x-2y)-50=15x-3(y+10), \\ 4x+3(y-12)=5(2x+y)-36; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 3(4x-2y+1)-2(5x-y+4)=23, \\ 2(x+6y-9)+5(2x-4y+7)=105. \end{cases}$

Решение.

Решение 2.

а)

Исходная система уравнений:

$$ \begin{cases} 2(x - 2y) - 50 = 15x - 3(y + 10) \\ 4x + 3(y - 12) = 5(2x + y) - 36 \end{cases} $$

Сначала упростим каждое уравнение системы, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.

Первое уравнение:

$2x - 4y - 50 = 15x - 3y - 30$

Перенесем все слагаемые с переменными в левую часть, а свободные члены — в правую:

$2x - 15x - 4y + 3y = 50 - 30$

$-13x - y = 20$

Для удобства умножим обе части уравнения на $-1$:

$13x + y = -20$

Второе уравнение:

$4x + 3y - 36 = 10x + 5y - 36$

Перенесем все слагаемые с переменными в левую часть, а свободные члены — в правую:

$4x - 10x + 3y - 5y = 36 - 36$

$-6x - 2y = 0$

Разделим обе части уравнения на $-2$:

$3x + y = 0$

В результате мы получили упрощенную систему линейных уравнений:

$$ \begin{cases} 13x + y = -20 \\ 3x + y = 0 \end{cases} $$

Эту систему удобно решить методом вычитания. Вычтем второе уравнение из первого:

$(13x + y) - (3x + y) = -20 - 0$

$13x + y - 3x - y = -20$

$10x = -20$

$x = \frac{-20}{10}$

$x = -2$

Теперь подставим найденное значение $x = -2$ во второе упрощенное уравнение ($3x + y = 0$) для нахождения $y$:

$3(-2) + y = 0$

$-6 + y = 0$

$y = 6$

Проверим найденное решение $(-2; 6)$ подстановкой в исходную систему.

Первое уравнение: $2(-2 - 2 \cdot 6) - 50 = 2(-14) - 50 = -28 - 50 = -78$. Правая часть: $15(-2) - 3(6 + 10) = -30 - 3(16) = -30 - 48 = -78$. Равенство $-78 = -78$ верное.

Второе уравнение: $4(-2) + 3(6 - 12) = -8 + 3(-6) = -8 - 18 = -26$. Правая часть: $5(2(-2) + 6) - 36 = 5(2) - 36 = 10 - 36 = -26$. Равенство $-26 = -26$ верное.

Ответ: $x = -2, y = 6$.

---

б)

Исходная система уравнений:

$$ \begin{cases} 3(4x - 2y + 1) - 2(5x - y + 4) = 23 \\ 2(x + 6y - 9) + 5(2x - 4y + 7) = 105 \end{cases} $$

Упростим каждое уравнение системы, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.

Первое уравнение:

$12x - 6y + 3 - 10x + 2y - 8 = 23$

$(12x - 10x) + (-6y + 2y) + (3 - 8) = 23$

$2x - 4y - 5 = 23$

$2x - 4y = 23 + 5$

$2x - 4y = 28$

Разделим обе части уравнения на 2:

$x - 2y = 14$

Второе уравнение:

$2x + 12y - 18 + 10x - 20y + 35 = 105$

$(2x + 10x) + (12y - 20y) + (-18 + 35) = 105$

$12x - 8y + 17 = 105$

$12x - 8y = 105 - 17$

$12x - 8y = 88$

Разделим обе части уравнения на 4:

$3x - 2y = 22$

В результате мы получили упрощенную систему линейных уравнений:

$$ \begin{cases} x - 2y = 14 \\ 3x - 2y = 22 \end{cases} $$

Решим систему методом вычитания. Вычтем первое уравнение из второго:

$(3x - 2y) - (x - 2y) = 22 - 14$

$3x - 2y - x + 2y = 8$

$2x = 8$

$x = \frac{8}{2}$

$x = 4$

Подставим найденное значение $x = 4$ в первое упрощенное уравнение ($x - 2y = 14$) для нахождения $y$:

$4 - 2y = 14$

$-2y = 14 - 4$

$-2y = 10$

$y = \frac{10}{-2}$

$y = -5$

Проверим найденное решение $(4; -5)$ подстановкой в исходную систему.

Первое уравнение: $3(4 \cdot 4 - 2(-5) + 1) - 2(5 \cdot 4 - (-5) + 4) = 3(16 + 10 + 1) - 2(20 + 5 + 4) = 3(27) - 2(29) = 81 - 58 = 23$. Равенство $23 = 23$ верное.

Второе уравнение: $2(4 + 6(-5) - 9) + 5(2 \cdot 4 - 4(-5) + 7) = 2(4 - 30 - 9) + 5(8 + 20 + 7) = 2(-35) + 5(35) = -70 + 175 = 105$. Равенство $105 = 105$ верное.

Ответ: $x = 4, y = -5$.