Номер 15, страница 94, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 6. Системы линейных уравнений. 38. Способ подстановки - номер 15, страница 94.

Условие.

15. Решите систему уравнений

$$(2x-1)^2 - (2x+3)^2 = 10y, \\ (y+2)^2 - (y-4)^2 = -30x.$$

Решение.

Решение 2.

Дана система уравнений: $ \begin{cases} (2x-1)^2 - (2x+3)^2 = 10y, \\ (y+2)^2 - (y-4)^2 = -30x. \end{cases} $

Для решения системы упростим каждое уравнение, применив формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Преобразуем первое уравнение:
$((2x-1) - (2x+3)) \cdot ((2x-1) + (2x+3)) = 10y$
$(2x - 1 - 2x - 3) \cdot (2x - 1 + 2x + 3) = 10y$
$(-4) \cdot (4x + 2) = 10y$
$-16x - 8 = 10y$

Преобразуем второе уравнение:
$((y+2) - (y-4)) \cdot ((y+2) + (y-4)) = -30x$
$(y + 2 - y + 4) \cdot (y + 2 + y - 4) = -30x$
$6 \cdot (2y - 2) = -30x$
$12y - 12 = -30x$

В результате преобразований мы получили систему линейных уравнений: $ \begin{cases} -16x - 8 = 10y, \\ 12y - 12 = -30x. \end{cases} $

Приведем уравнения к стандартному виду $Ax + By = C$. Для этого разделим обе части первого уравнения на $-2$, а второго на $6$:
$ \begin{cases} 8x + 4 = -5y, \\ 2y - 2 = -5x. \end{cases} $
$ \begin{cases} 8x + 5y = -4, \\ 5x + 2y = 2. \end{cases} $

Решим полученную систему методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе на -5, чтобы коэффициенты при переменной $y$ стали противоположными числами: $ \begin{cases} 16x + 10y = -8, \\ -25x - 10y = -10. \end{cases} $

Сложим почленно два уравнения системы:
$(16x + 10y) + (-25x - 10y) = -8 + (-10)$
$16x - 25x = -18$
$-9x = -18$
$x = 2$

Подставим найденное значение $x=2$ в уравнение $5x + 2y = 2$:
$5(2) + 2y = 2$
$10 + 2y = 2$
$2y = 2 - 10$
$2y = -8$
$y = -4$

Следовательно, решением системы является пара чисел $(2; -4)$.

Ответ: $(2; -4)$