Номер 4, страница 96, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 6. Системы линейных уравнений. 39. Способ сложения - номер 4, страница 96.

Условие.

4. Решите систему уравнений методом сложения:

a) $\begin{cases} 6x - 5y = -12, \\ 4x + 3y = 30; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 3x + 5y = 7, \\ 2x - 7y = 15. \end{cases}$

Решение.

Решение 2.

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 6x - 5y = -12, \\ 4x + 3y = 30. \end{cases} $$

Для решения системы методом сложения необходимо, чтобы коэффициенты при одной из переменных были противоположными числами. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 5, чтобы коэффициенты при переменной $y$ стали $-15$ и $15$.

$$ \begin{cases} (6x - 5y) \cdot 3 = -12 \cdot 3, \\ (4x + 3y) \cdot 5 = 30 \cdot 5. \end{cases} $$

Получаем эквивалентную систему:

$$ \begin{cases} 18x - 15y = -36, \\ 20x + 15y = 150. \end{cases} $$

Теперь сложим два уравнения системы:

$(18x - 15y) + (20x + 15y) = -36 + 150$

$38x = 114$

Найдем $x$:

$x = \frac{114}{38}$

$x = 3$

Подставим найденное значение $x=3$ в любое из исходных уравнений, например, во второе ($4x + 3y = 30$):

$4 \cdot 3 + 3y = 30$

$12 + 3y = 30$

$3y = 30 - 12$

$3y = 18$

$y = \frac{18}{3}$

$y = 6$

Таким образом, решение системы — пара чисел $(3; 6)$.

Ответ: $(3; 6)$.

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 3x + 5y = 7, \\ 2x - 7y = 15. \end{cases} $$

Чтобы использовать метод сложения, сделаем коэффициенты при переменной $x$ противоположными. Умножим первое уравнение на 2, а второе на -3.

$$ \begin{cases} (3x + 5y) \cdot 2 = 7 \cdot 2, \\ (2x - 7y) \cdot (-3) = 15 \cdot (-3). \end{cases} $$

Получаем новую систему:

$$ \begin{cases} 6x + 10y = 14, \\ -6x + 21y = -45. \end{cases} $$

Сложим уравнения системы:

$(6x + 10y) + (-6x + 21y) = 14 - 45$

$31y = -31$

Найдем $y$:

$y = \frac{-31}{31}$

$y = -1$

Подставим найденное значение $y=-1$ в первое исходное уравнение ($3x + 5y = 7$):

$3x + 5 \cdot (-1) = 7$

$3x - 5 = 7$

$3x = 7 + 5$

$3x = 12$

$x = \frac{12}{3}$

$x = 4$

Таким образом, решение системы — пара чисел $(4; -1)$.

Ответ: $(4; -1)$.