Номер 9, страница 100, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 6. Системы линейных уравнений. 39. Способ сложения - номер 9, страница 100.

Условие.

9. Задайте формулой линейную функцию $y=kx+b$, график которой проходит через точку $M(1; -9)$ и точку $N$ пересечения графиков функций $3x-4y=9$ и $5x+2y=41$.

Решение.

Решение 2.

Для того чтобы задать формулой линейную функцию $y=kx+b$, необходимо найти коэффициенты $k$ и $b$. По условию, график этой функции проходит через две точки: $M(1; -9)$ и точку $N$, которая является точкой пересечения графиков функций $3x-4y=9$ и $5x+2y=41$.

Решение задачи состоит из двух основных шагов.

1. Нахождение координат точки пересечения N

Координаты точки пересечения $N(x; y)$ являются решением системы уравнений, задающих графики функций:

$$ \begin{cases} 3x - 4y = 9 \\ 5x + 2y = 41 \end{cases} $$

Для решения этой системы используем метод алгебраического сложения. Умножим второе уравнение на 2, чтобы коэффициенты при переменной $y$ стали противоположными по знаку:

$$ \begin{cases} 3x - 4y = 9 \\ 2 \cdot (5x + 2y) = 2 \cdot 41 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} 3x - 4y = 9 \\ 10x + 4y = 82 \end{cases} $$

Теперь сложим два уравнения почленно:

$(3x - 4y) + (10x + 4y) = 9 + 82$

$13x = 91$

$x = \frac{91}{13}$

$x = 7$

Подставим найденное значение $x=7$ в любое из исходных уравнений. Удобнее подставить во второе уравнение $5x + 2y = 41$:

$5(7) + 2y = 41$

$35 + 2y = 41$

$2y = 41 - 35$

$2y = 6$

$y = 3$

Таким образом, координаты точки пересечения $N$ равны $(7; 3)$.

2. Нахождение уравнения прямой y=kx+b

Теперь у нас есть две точки, через которые проходит график искомой функции: $M(1; -9)$ и $N(7; 3)$. Подставим координаты этих точек в уравнение $y=kx+b$, чтобы составить систему для нахождения коэффициентов $k$ и $b$:

Для точки $M(1; -9)$: $-9 = k \cdot 1 + b$

Для точки $N(7; 3)$: $3 = k \cdot 7 + b$

Получаем систему уравнений:

$$ \begin{cases} k + b = -9 \\ 7k + b = 3 \end{cases} $$

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти $k$:

$(7k + b) - (k + b) = 3 - (-9)$

$6k = 12$

$k = \frac{12}{6}$

$k = 2$

Теперь подставим найденное значение $k=2$ в первое уравнение системы ($k + b = -9$):

$2 + b = -9$

$b = -9 - 2$

$b = -11$

Мы нашли коэффициенты $k=2$ и $b=-11$. Следовательно, искомая формула линейной функции имеет вид:

$y = 2x - 11$

Ответ: $y = 2x - 11$