Номер 13, страница 102, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 6. Системы линейных уравнений. 39. Способ сложения - номер 13, страница 102.

Условие.

13.Решите систему уравнений:

$\begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 0,25 \\ \frac{2}{x} + \frac{2}{y} = 1,5 \end{cases}$

Решение.

Решение 2.

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 0.25, \\ \frac{2}{x} + \frac{2}{y} = 1.5. \end{cases} $$

Для решения этой системы удобно использовать метод замены переменных. Введем новые переменные: пусть $a = \frac{1}{x}$ и $b = \frac{1}{y}$. Тогда исходная система уравнений преобразуется в систему линейных уравнений относительно $a$ и $b$:

$$ \begin{cases} a - b = 0.25, \\ 2a + 2b = 1.5. \end{cases} $$

Упростим второе уравнение, разделив обе его части на 2:

$$ \begin{cases} a - b = 0.25, \\ a + b = 0.75. \end{cases} $$

Теперь решим полученную систему методом сложения. Сложим левые и правые части уравнений:

$(a - b) + (a + b) = 0.25 + 0.75$

$2a = 1$

$a = \frac{1}{2} = 0.5$

Подставим найденное значение $a=0.5$ во второе уравнение системы $a + b = 0.75$, чтобы найти $b$:

$0.5 + b = 0.75$

$b = 0.75 - 0.5$

$b = 0.25$

Теперь, когда мы нашли значения $a$ и $b$, выполним обратную замену, чтобы найти $x$ и $y$.

Из $a = \frac{1}{x}$ следует:

$0.5 = \frac{1}{x}$

$x = \frac{1}{0.5} = 2$

Из $b = \frac{1}{y}$ следует:

$0.25 = \frac{1}{y}$

$y = \frac{1}{0.25} = 4$

Таким образом, решение системы: $x=2$, $y=4$.

Выполним проверку, подставив найденные значения в исходную систему уравнений:

Первое уравнение: $\frac{1}{2} - \frac{1}{4} = 0.5 - 0.25 = 0.25$. Равенство выполняется.

Второе уравнение: $\frac{2}{2} + \frac{2}{4} = 1 + 0.5 = 1.5$. Равенство выполняется.

Ответ: $(2; 4)$