Номер 8, страница 99, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 6. Системы линейных уравнений. 39. Способ сложения - номер 8, страница 99.

Условие.

8. Решите методом сложения систему уравнений относительно переменных x и y, считая a и b известными числами, отличными от нуля:

$$\begin{cases}ax + by = 2(a + b), \\2ax - 3by = 3(a - b).\end{cases}$$

Решение.

Решение 2.

Дана система уравнений:

$$\begin{cases}ax + by = 2(a+b) \\2ax - 3by = 3(a-b)\end{cases}$$

Для решения системы методом сложения необходимо преобразовать уравнения таким образом, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами.

Сначала исключим переменную $y$. Для этого умножим обе части первого уравнения на 3:

$$3(ax + by) = 3 \cdot 2(a+b) \\3ax + 3by = 6(a+b)$$

Теперь сложим полученное уравнение почленно со вторым уравнением системы:

$$(3ax + 3by) + (2ax - 3by) = 6(a+b) + 3(a-b)$$

Упростим полученное уравнение:

$$5ax = 6a + 6b + 3a - 3b \\5ax = 9a + 3b$$

Так как по условию $a \neq 0$, разделим обе части уравнения на $5a$, чтобы найти $x$:

$$x = \frac{9a + 3b}{5a}$$

Теперь найдем переменную $y$, исключив переменную $x$. Для этого умножим обе части первого уравнения исходной системы на $-2$:

$$-2(ax + by) = -2 \cdot 2(a+b) \\-2ax - 2by = -4(a+b)$$

Сложим полученное уравнение со вторым уравнением исходной системы:

$$(-2ax - 2by) + (2ax - 3by) = -4(a+b) + 3(a-b)$$

Упростим полученное уравнение:

$$-5by = -4a - 4b + 3a - 3b \\-5by = -a - 7b$$

Так как по условию $b \neq 0$, разделим обе части уравнения на $-5b$, чтобы найти $y$:

$$y = \frac{-a - 7b}{-5b} = \frac{a + 7b}{5b}$$

Ответ: $x = \frac{9a+3b}{5a}$, $y = \frac{a+7b}{5b}$.