Номер 12, страница 102, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 6. Системы линейных уравнений. 39. Способ сложения - номер 12, страница 102.

Условие.

12. Закончите решение системы уравнений

$\begin{cases} \frac{3}{x} + \frac{2}{y} = 13, \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 5. \end{cases}$

Введём новые переменные $u = \frac{1}{x}$, $v = \frac{1}{y}$.

После замены переменных уравнения становятся линейными:

$\begin{cases} 3u + 2v = 13, \\ u + v = 5. \end{cases}$

Решение.

Решение 2.

Для решения системы линейных уравнений

$ \begin{cases} 3u + 2v = 13, \\ u + v = 5. \end{cases} $

воспользуемся методом подстановки. Выразим переменную $u$ из второго уравнения:

$u = 5 - v$

Теперь подставим это выражение в первое уравнение системы:

$3(5 - v) + 2v = 13$

Решим полученное уравнение относительно $v$:

$15 - 3v + 2v = 13$

$15 - v = 13$

$v = 15 - 13$

$v = 2$

Теперь найдём значение $u$, подставив значение $v=2$ в выражение $u = 5 - v$:

$u = 5 - 2$

$u = 3$

Мы получили решение системы для новых переменных: $u=3$ и $v=2$.

Вернёмся к исходным переменным $x$ и $y$, выполнив обратную замену. Мы знаем, что $u = \frac{1}{x}$ и $v = \frac{1}{y}$.

Для $x$:

$u = \frac{1}{x} \implies 3 = \frac{1}{x} \implies x = \frac{1}{3}$

Для $y$:

$v = \frac{1}{y} \implies 2 = \frac{1}{y} \implies y = \frac{1}{2}$

Таким образом, решением исходной системы является пара чисел $(\frac{1}{3}; \frac{1}{2})$.

Ответ: $x = \frac{1}{3}, y = \frac{1}{2}$.