Номер 10, страница 101, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 6. Системы линейных уравнений. 39. Способ сложения - номер 10, страница 101.

Условие.

10. Решите систему уравнений:

a) $$\begin{cases} (5-u)^2 - (3+u)^2 = 32v, \\ 3u + 8v + 3 = 0; \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} 7y - 2x = 39, \\ (3+x)^2 - (7-x)^2 = -16y. \end{cases}$$

Решение.

Решение 2.

а)

Исходная система уравнений: $$ \begin{cases} (5-u)^2 - (3+u)^2 = 32v, \\ 3u + 8v + 3 = 0. \end{cases} $$ Рассмотрим первое уравнение. Упростим его левую часть, применив формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = 5-u$ и $b = 3+u$:
$( (5-u) - (3+u) ) \cdot ( (5-u) + (3+u) ) = 32v$
$(5 - u - 3 - u) \cdot (5 - u + 3 + u) = 32v$
$(2 - 2u) \cdot 8 = 32v$
$16 - 16u = 32v$
Разделим обе части уравнения на 16:
$1 - u = 2v$

Теперь система уравнений стала линейной: $$ \begin{cases} 1 - u = 2v, \\ 3u + 8v + 3 = 0. \end{cases} $$ Из первого уравнения выразим $u$:
$u = 1 - 2v$

Подставим полученное выражение для $u$ во второе уравнение системы:
$3(1 - 2v) + 8v + 3 = 0$
$3 - 6v + 8v + 3 = 0$
$2v + 6 = 0$
$2v = -6$
$v = -3$

Теперь найдем $u$, подставив значение $v = -3$ в выражение $u = 1 - 2v$:
$u = 1 - 2(-3)$
$u = 1 + 6$
$u = 7$

Решение системы: $u=7, v=-3$.
Ответ: $(7; -3)$.

б)

Исходная система уравнений: $$ \begin{cases} 7y - 2x = 39, \\ (3+x)^2 - (7-x)^2 = -16y. \end{cases} $$ Рассмотрим второе уравнение. Упростим его левую часть по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = 3+x$ и $b = 7-x$:
$( (3+x) - (7-x) ) \cdot ( (3+x) + (7-x) ) = -16y$
$(3 + x - 7 + x) \cdot (3 + x + 7 - x) = -16y$
$(2x - 4) \cdot 10 = -16y$
$20x - 40 = -16y$
Разделим обе части уравнения на 4:
$5x - 10 = -4y$
$5x + 4y = 10$

Теперь система уравнений стала линейной: $$ \begin{cases} 7y - 2x = 39, \\ 5x + 4y = 10. \end{cases} $$ Запишем уравнения в стандартном виде: $$ \begin{cases} -2x + 7y = 39, \\ 5x + 4y = 10. \end{cases} $$ Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 5, а второе на 2: $$ \begin{cases} -10x + 35y = 195, \\ 10x + 8y = 20. \end{cases} $$ Сложим эти два уравнения:
$(-10x + 35y) + (10x + 8y) = 195 + 20$
$43y = 215$
$y = \frac{215}{43}$
$y = 5$

Подставим найденное значение $y = 5$ во второе упрощенное уравнение $5x + 4y = 10$:
$5x + 4(5) = 10$
$5x + 20 = 10$
$5x = 10 - 20$
$5x = -10$
$x = -2$

Решение системы: $x=-2, y=5$.
Ответ: $(-2; 5)$.