Номер 13, страница 93, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 6. Системы линейных уравнений. 38. Способ подстановки - номер 13, страница 93.

Условие.

13. Не выполняя построения, определите, проходят ли прямые, являющиеся графиками уравнений $3x - y = -9$, $5x + 4y = 2$ и $y - x = 5$, через одну и ту же точку.

Решение.

Решение 2.

Чтобы определить, проходят ли три прямые через одну и ту же точку, не выполняя построения, нужно найти точку пересечения любых двух из этих прямых и затем проверить, принадлежит ли эта точка третьей прямой. Если точка принадлежит и третьей прямой, то все три прямые пересекаются в одной точке.

Нам даны три уравнения прямых:

1. $3x - y = -9$
2. $5x + 4y = 2$
3. $y - x = 5$

Шаг 1: Найдём точку пересечения двух прямых.

Возьмём уравнения (1) и (3), так как из третьего уравнения легко выразить y через x. Составим и решим систему уравнений:

$\begin{cases} 3x - y = -9 \\ y - x = 5 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим y:

$y = x + 5$

Подставим это выражение для y в первое уравнение:

$3x - (x + 5) = -9$

$3x - x - 5 = -9$

$2x = -9 + 5$

$2x = -4$

$x = -2$

Теперь найдём соответствующее значение y, подставив значение x в выражение $y = x + 5$:

$y = -2 + 5 = 3$

Таким образом, точка пересечения прямых (1) и (3) имеет координаты $(-2; 3)$.

Шаг 2: Проверим, принадлежит ли найденная точка третьей прямой.

Теперь нужно проверить, удовлетворяют ли координаты точки $(-2; 3)$ уравнению второй прямой: $5x + 4y = 2$.

Подставим $x = -2$ и $y = 3$ в это уравнение:

$5(-2) + 4(3) = -10 + 12 = 2$

Получили верное равенство: $2 = 2$.

Это означает, что точка $(-2; 3)$ также лежит на прямой $5x + 4y = 2$.

Поскольку точка пересечения двух прямых принадлежит и третьей прямой, все три прямые проходят через одну и ту же точку.

Ответ: Да, прямые проходят через одну и ту же точку $(-2; 3)$.