Номер 235, страница 49 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 235, страница 49.

Условие.

235. Представьте в виде степени с основанием 2 выражение:

1) $8^9 \cdot 4^5,$

2) $32 \cdot 16^6 \cdot 64^3.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Чтобы представить выражение в виде степени с основанием 2, необходимо каждый множитель в выражении представить как степень числа 2, а затем использовать свойства степеней.

1) $8^9 \cdot 4^5$

Сначала представим основания 8 и 4 в виде степеней с основанием 2:
$8 = 2^3$
$4 = 2^2$

Теперь подставим эти значения в исходное выражение:
$8^9 \cdot 4^5 = (2^3)^9 \cdot (2^2)^5$

Воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ (возведение степени в степень):
$(2^3)^9 = 2^{3 \cdot 9} = 2^{27}$
$(2^2)^5 = 2^{2 \cdot 5} = 2^{10}$

Теперь выражение выглядит так:
$2^{27} \cdot 2^{10}$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):
$2^{27} \cdot 2^{10} = 2^{27+10} = 2^{37}$

Ответ: $2^{37}$

2) $32 \cdot 16^6 \cdot 64^3$

Представим числа 32, 16 и 64 в виде степеней с основанием 2:
$32 = 2^5$
$16 = 2^4$
$64 = 2^6$

Подставим эти значения в выражение:
$32 \cdot 16^6 \cdot 64^3 = 2^5 \cdot (2^4)^6 \cdot (2^6)^3$

Используем свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(2^4)^6 = 2^{4 \cdot 6} = 2^{24}$
$(2^6)^3 = 2^{6 \cdot 3} = 2^{18}$

Теперь перемножим все степени:
$2^5 \cdot 2^{24} \cdot 2^{18}$

Сложим показатели степеней, так как основания одинаковы ($a^m \cdot a^n \cdot a^p = a^{m+n+p}$):
$2^{5+24+18} = 2^{47}$

Ответ: $2^{47}$