Номер 240, страница 49 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 240, страница 49.

Условие.

240. Сравните значения выражений:

1) $(-5)^{21} \cdot (-5)$ и $(-5)^{24}$.

2) $(-7)^8 \cdot (-7)^7$ и $(-7)^{17}$.

3) $(-8)^5 \cdot (-8)^4$ и $(-8)^8$.

4) $(-6)^8 \cdot (-6)^9$ и $(-6)^{18}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Сравним значения выражений $(-5)^{21} \cdot (-5)$ и $(-5)^{24}$.
Сначала упростим первое выражение, используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$(-5)^{21} \cdot (-5) = (-5)^{21} \cdot (-5)^1 = (-5)^{21+1} = (-5)^{22}$.
Теперь необходимо сравнить $(-5)^{22}$ и $(-5)^{24}$.
Основание степени (-5) — отрицательное число. Показатели степени 22 и 24 — четные числа. При возведении отрицательного числа в четную степень результат будет положительным.
$(-5)^{22} = 5^{22}$
$(-5)^{24} = 5^{24}$
Так как основание $5 > 1$, то из двух степеней с одинаковым основанием больше та, у которой показатель больше. Поскольку $24 > 22$, то $5^{24} > 5^{22}$.
Следовательно, $(-5)^{24} > (-5)^{22}$, а значит, $(-5)^{24} > (-5)^{21} \cdot (-5)$.
Ответ: $(-5)^{21} \cdot (-5) < (-5)^{24}$.

2) Сравним значения выражений $(-7)^{8} \cdot (-7)^{7}$ и $(-7)^{17}$.
Упростим первое выражение:
$(-7)^{8} \cdot (-7)^{7} = (-7)^{8+7} = (-7)^{15}$.
Теперь сравним $(-7)^{15}$ и $(-7)^{17}$.
Основание степени (-7) — отрицательное число. Показатели степени 15 и 17 — нечетные числа. При возведении отрицательного числа в нечетную степень результат будет отрицательным.
$(-7)^{15} = -7^{15}$
$(-7)^{17} = -7^{17}$
Сравним сначала положительные числа $7^{15}$ и $7^{17}$. Так как $17 > 15$, то $7^{17} > 7^{15}$.
При сравнении отрицательных чисел больше то, чей модуль меньше. Так как $|-7^{17}| > |-7^{15}|$, то $-7^{17} < -7^{15}$.
Следовательно, $(-7)^{17} < (-7)^{15}$, а значит, $(-7)^{17} < (-7)^{8} \cdot (-7)^{7}$.
Ответ: $(-7)^{8} \cdot (-7)^{7} > (-7)^{17}$.

3) Сравним значения выражений $(-8)^{5} \cdot (-8)^{4}$ и $(-8)^{8}$.
Упростим первое выражение:
$(-8)^{5} \cdot (-8)^{4} = (-8)^{5+4} = (-8)^{9}$.
Теперь сравним $(-8)^{9}$ и $(-8)^{8}$.
Рассмотрим знаки выражений:
$(-8)^{9}$ — отрицательное число, так как отрицательное основание возводится в нечетную степень (9).
$(-8)^{8}$ — положительное число, так как отрицательное основание возводится в четную степень (8).
Любое положительное число больше любого отрицательного числа.
Следовательно, $(-8)^{8} > (-8)^{9}$, а значит, $(-8)^{8} > (-8)^{5} \cdot (-8)^{4}$.
Ответ: $(-8)^{5} \cdot (-8)^{4} < (-8)^{8}$.

4) Сравним значения выражений $(-6)^{8} \cdot (-6)^{9}$ и $(-6)^{18}$.
Упростим первое выражение:
$(-6)^{8} \cdot (-6)^{9} = (-6)^{8+9} = (-6)^{17}$.
Теперь сравним $(-6)^{17}$ и $(-6)^{18}$.
Рассмотрим знаки выражений:
$(-6)^{17}$ — отрицательное число, так как отрицательное основание (-6) возводится в нечетную степень (17).
$(-6)^{18}$ — положительное число, так как отрицательное основание (-6) возводится в четную степень (18).
Любое положительное число больше любого отрицательного числа.
Следовательно, $(-6)^{18} > (-6)^{17}$, а значит, $(-6)^{18} > (-6)^{8} \cdot (-6)^{9}$.
Ответ: $(-6)^{8} \cdot (-6)^{9} < (-6)^{18}$.