Номер 246, страница 49 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 246, страница 49.

Условие.

246. Сравните значения выражений:

1) $10^{40}$ и $10\,001^{10}$;

2) $124^4$ и $5^{12}$;

3) $8^{12}$ и $5^{96}$;

4) $6^{14}$ и $2^{16} \cdot 3^{12}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $10^{40}$ и $10001^{10}$
Чтобы сравнить эти два числа, приведем их к одному показателю степени. Представим $10^{40}$ в виде степени с показателем 10: $10^{40} = 10^{4 \cdot 10} = (10^4)^{10} = 10000^{10}$. Теперь нам нужно сравнить $10000^{10}$ и $10001^{10}$. Так как основания степеней - положительные числа и показатель степени одинаковый (10), то больше то число, у которого больше основание. Сравниваем основания: $10001 > 10000$. Следовательно, $10001^{10} > 10000^{10}$. Значит, $10^{40} < 10001^{10}$.
Ответ: $10^{40} < 10001^{10}$.

2) $124^4$ и $5^{12}$
Приведем выражения к одному показателю степени. Представим $5^{12}$ в виде степени с показателем 4: $5^{12} = 5^{3 \cdot 4} = (5^3)^4 = 125^4$. Теперь сравним $124^4$ и $125^4$. Поскольку показатели степеней равны, а основания положительны, больше то число, у которого больше основание. Сравниваем основания: $125 > 124$. Следовательно, $125^4 > 124^4$. Значит, $124^4 < 5^{12}$.
Ответ: $124^4 < 5^{12}$.

3) $8^{12}$ и $59^6$
Приведем числа к общему показателю степени 6. Представим $8^{12}$ в виде степени с показателем 6: $8^{12} = 8^{2 \cdot 6} = (8^2)^6 = 64^6$. Теперь сравним $64^6$ и $59^6$. Так как показатели степеней одинаковы и основания положительны, сравниваем основания: $64 > 59$. Следовательно, $64^6 > 59^6$. Значит, $8^{12} > 59^6$.
Ответ: $8^{12} > 59^6$.

4) $6^{14}$ и $2^{16} \cdot 3^{12}$
Разложим оба выражения на простые множители, чтобы сделать их более удобными для сравнения. Первое выражение: $6^{14} = (2 \cdot 3)^{14} = 2^{14} \cdot 3^{14}$. Второе выражение: $2^{16} \cdot 3^{12}$. Теперь сравним $2^{14} \cdot 3^{14}$ и $2^{16} \cdot 3^{12}$. Выделим в обоих выражениях общий множитель $2^{14} \cdot 3^{12}$. $2^{14} \cdot 3^{14} = 2^{14} \cdot 3^{12+2} = 2^{14} \cdot 3^{12} \cdot 3^2 = (2^{14} \cdot 3^{12}) \cdot 9$. $2^{16} \cdot 3^{12} = 2^{14+2} \cdot 3^{12} = 2^{14} \cdot 2^2 \cdot 3^{12} = (2^{14} \cdot 3^{12}) \cdot 4$. Теперь мы сравниваем $(2^{14} \cdot 3^{12}) \cdot 9$ и $(2^{14} \cdot 3^{12}) \cdot 4$. Поскольку общий множитель $(2^{14} \cdot 3^{12})$ является положительным числом, нам достаточно сравнить оставшиеся множители: 9 и 4. Так как $9 > 4$, то и первое выражение больше второго. Следовательно, $6^{14} > 2^{16} \cdot 3^{12}$.
Ответ: $6^{14} > 2^{16} \cdot 3^{12}$.