Номер 242, страница 49 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 242, страница 49.

Условие.

242. Запишите выражение $3^{24}$ в виде степени с основанием:

1) $3^8$;

2) $3^{12}$;

3) 9;

4) 81.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для решения этой задачи мы будем использовать основное свойство степеней: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Это свойство позволяет нам изменять основание степени, находя соответствующий новый показатель.

1) 3³;

Чтобы представить выражение $3^{24}$ в виде степени с основанием $3^3$, нам нужно найти такой показатель степени $x$, чтобы выполнялось равенство:

$(3^3)^x = 3^{24}$

Используя свойство степени, левую часть можно записать как $3^{3 \cdot x}$. Тогда равенство примет вид:

$3^{3x} = 3^{24}$

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$3x = 24$

$x = \frac{24}{3}$

$x = 8$

Таким образом, выражение $3^{24}$ можно записать как $(3^3)^8$.

Ответ: $(3^3)^8$

2) 3¹²;

Аналогично первому пункту, найдем показатель степени $x$, для которого:

$(3^{12})^x = 3^{24}$

Преобразуем левую часть:

$3^{12x} = 3^{24}$

Приравниваем показатели степеней:

$12x = 24$

$x = \frac{24}{12}$

$x = 2$

Следовательно, выражение $3^{24}$ можно записать как $(3^{12})^2$.

Ответ: $(3^{12})^2$

3) 9;

Сначала представим новое основание $9$ как степень исходного основания $3$:

$9 = 3^2$

Теперь нам нужно представить $3^{24}$ в виде степени с основанием $9$, то есть найти такой показатель $x$, что $9^x = 3^{24}$. Подставим $9 = 3^2$ в это равенство:

$(3^2)^x = 3^{24}$

Преобразуем левую часть:

$3^{2x} = 3^{24}$

Приравниваем показатели:

$2x = 24$

$x = \frac{24}{2}$

$x = 12$

Значит, $3^{24}$ можно записать как $9^{12}$.

Ответ: $9^{12}$

4) 81.

Представим новое основание $81$ как степень исходного основания $3$:

$81 = 9^2 = (3^2)^2 = 3^4$

Теперь найдем показатель $x$, для которого $81^x = 3^{24}$. Заменим $81$ на $3^4$:

$(3^4)^x = 3^{24}$

Преобразуем левую часть:

$3^{4x} = 3^{24}$

Приравниваем показатели степеней:

$4x = 24$

$x = \frac{24}{4}$

$x = 6$

Таким образом, $3^{24}$ можно записать как $81^6$.

Ответ: $81^6$