Номер 236, страница 49 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 236, страница 49.

Условие.

236. Найдите значение выражения:

1) $(6^4)^4 : (6^5)^3;$

2) $8^3 : 4^4;$

3) $\frac{7^{14} \cdot (7^2)^3}{(7^3)^6 \cdot 7^2};$

4) $\frac{25^3 \cdot 125^2}{5^{10}};$

5) $\frac{3^8 \cdot 7^8}{21^7};$

6) $\frac{5^9 \cdot 4^6}{20^6}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $(6^4)^4 : (6^5)^3$

Для решения воспользуемся свойством возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$(6^4)^4 = 6^{4 \cdot 4} = 6^{16}$

$(6^5)^3 = 6^{5 \cdot 3} = 6^{15}$

Теперь выполним деление степеней с одинаковым основанием, используя свойство $a^m : a^n = a^{m-n}$:

$6^{16} : 6^{15} = 6^{16-15} = 6^1 = 6$

Ответ: 6

2) $8^3 : 4^4$

Представим основания 8 и 4 в виде степеней числа 2:

$8 = 2^3$, а $4 = 2^2$.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$(2^3)^3 : (2^2)^4$

Используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, упростим выражение:

$2^{3 \cdot 3} : 2^{2 \cdot 4} = 2^9 : 2^8$

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($a^m : a^n = a^{m-n}$):

$2^{9-8} = 2^1 = 2$

Ответ: 2

3) $\frac{7^{14} \cdot (7^2)^3}{(7^3)^6 \cdot 7^2}$

Сначала упростим числитель и знаменатель, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Числитель: $7^{14} \cdot (7^2)^3 = 7^{14} \cdot 7^{2 \cdot 3} = 7^{14} \cdot 7^6 = 7^{14+6} = 7^{20}$

Знаменатель: $(7^3)^6 \cdot 7^2 = 7^{3 \cdot 6} \cdot 7^2 = 7^{18} \cdot 7^2 = 7^{18+2} = 7^{20}$

Теперь выполним деление:

$\frac{7^{20}}{7^{20}} = 1$

Ответ: 1

4) $\frac{25^3 \cdot 125^2}{5^{10}}$

Представим числа 25 и 125 в числителе в виде степеней числа 5:

$25 = 5^2$, а $125 = 5^3$.

Подставим эти значения в числитель:

$(5^2)^3 \cdot (5^3)^2 = 5^{2 \cdot 3} \cdot 5^{3 \cdot 2} = 5^6 \cdot 5^6 = 5^{6+6} = 5^{12}$

Теперь разделим полученное выражение на знаменатель, используя свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{5^{12}}{5^{10}} = 5^{12-10} = 5^2 = 25$

Ответ: 25

5) $\frac{3^8 \cdot 7^8}{21^7}$

Используем свойство умножения степеней с одинаковым показателем $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$ для числителя:

$3^8 \cdot 7^8 = (3 \cdot 7)^8 = 21^8$

Теперь разделим полученное выражение на знаменатель:

$\frac{21^8}{21^7} = 21^{8-7} = 21^1 = 21$

Ответ: 21

6) $\frac{5^9 \cdot 4^6}{20^6}$

Представим основание 20 в знаменателе как произведение $4 \cdot 5$ и воспользуемся свойством $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$:

$20^6 = (4 \cdot 5)^6 = 4^6 \cdot 5^6$

Подставим это в исходное выражение:

$\frac{5^9 \cdot 4^6}{4^6 \cdot 5^6}$

Сократим одинаковые множители $4^6$ в числителе и знаменателе:

$\frac{5^9}{5^6}$

Выполним деление степеней с одинаковым основанием:

$5^{9-6} = 5^3 = 125$

Ответ: 125