Номер 237, страница 49 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 237, страница 49.

Условие.

237. Вычислите:

1) $100^5 : 1000^2;$

2) $\frac{3^{10} \cdot (3^3)^5}{(3^5)^4 \cdot 3};$

3) $\frac{4^3 \cdot 16^2}{2^{12}};$

4) $\frac{45^{10}}{5^8 \cdot 3^{19}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Чтобы вычислить $100^5 : 1000^2$, представим основания 100 и 1000 в виде степеней числа 10.
Поскольку $100 = 10^2$ и $1000 = 10^3$, то выражение можно переписать так:
$(10^2)^5 : (10^3)^2$
Используя свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем:
$10^{2 \cdot 5} : 10^{3 \cdot 2} = 10^{10} : 10^6$
Далее, используя свойство деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$, находим:
$10^{10-6} = 10^4 = 10000$
Ответ: 10000

2) Рассмотрим выражение $\frac{3^{10} \cdot (3^3)^5}{(3^5)^4 \cdot 3}$.
Сначала упростим числитель, используя свойства степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$3^{10} \cdot (3^3)^5 = 3^{10} \cdot 3^{3 \cdot 5} = 3^{10} \cdot 3^{15} = 3^{10+15} = 3^{25}$
Теперь упростим знаменатель, помня, что $3 = 3^1$:
$(3^5)^4 \cdot 3^1 = 3^{5 \cdot 4} \cdot 3^1 = 3^{20} \cdot 3^1 = 3^{20+1} = 3^{21}$
Теперь разделим числитель на знаменатель, используя свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{3^{25}}{3^{21}} = 3^{25-21} = 3^4$
Вычислим значение:
$3^4 = 81$
Ответ: 81

3) Рассмотрим выражение $\frac{4^3 \cdot 16^2}{2^{12}}$.
Приведем все основания к одному числу, в данном случае к 2.
$4 = 2^2$
$16 = 2^4$
Подставим эти значения в выражение:
$\frac{(2^2)^3 \cdot (2^4)^2}{2^{12}}$
Упростим числитель, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ и затем $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$\frac{2^{2 \cdot 3} \cdot 2^{4 \cdot 2}}{2^{12}} = \frac{2^6 \cdot 2^8}{2^{12}} = \frac{2^{6+8}}{2^{12}} = \frac{2^{14}}{2^{12}}$
Используем свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$2^{14-12} = 2^2 = 4$
Ответ: 4

4) Рассмотрим выражение $\frac{45^{10}}{5^8 \cdot 3^{19}}$.
Разложим основание 45 на простые множители:
$45 = 9 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$
Подставим это разложение в числитель:
$\frac{(3^2 \cdot 5)^{10}}{5^8 \cdot 3^{19}}$
Используем свойство возведения произведения в степень $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ и свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$\frac{(3^2)^{10} \cdot 5^{10}}{5^8 \cdot 3^{19}} = \frac{3^{2 \cdot 10} \cdot 5^{10}}{5^8 \cdot 3^{19}} = \frac{3^{20} \cdot 5^{10}}{3^{19} \cdot 5^8}$
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{3^{20}}{3^{19}} \cdot \frac{5^{10}}{5^8} = 3^{20-19} \cdot 5^{10-8} = 3^1 \cdot 5^2$
Вычислим результат:
$3 \cdot 25 = 75$
Ответ: 75