Номер 241, страница 49 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 241, страница 49.

Условие.

241. Замените звёздочку такой степенью, чтобы выполнялось равенство:

1) $8 \cdot * = 2^8$;

2) $a^n \cdot * = a^{3n+2}$; где $n$ — натуральное число.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1)

Чтобы найти степень, которой нужно заменить звёздочку в равенстве $8 \cdot * = 2^8$, обозначим искомую степень за $x$. Получим уравнение:

$8 \cdot x = 2^8$

Для решения приведём все части уравнения к одному основанию. В данном случае это основание 2. Число 8 можно представить как степень двойки:

$8 = 2^3$

Подставим это значение в уравнение:

$2^3 \cdot x = 2^8$

Теперь выразим $x$, разделив обе части уравнения на $2^3$:

$x = \frac{2^8}{2^3}$

Воспользуемся свойством деления степеней с одинаковым основанием: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

$x = 2^{8-3}$

$x = 2^5$

Таким образом, звёздочку нужно заменить на $2^5$.

Проверим: $8 \cdot 2^5 = 2^3 \cdot 2^5 = 2^{3+5} = 2^8$. Равенство выполняется.

Ответ: $2^5$

2)

В равенстве $a^n \cdot * = a^{3n+2}$ (где $n$ – натуральное число) также заменим звёздочку на $x$:

$a^n \cdot x = a^{3n+2}$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $a^n$ (предполагая, что $a \neq 0$):

$x = \frac{a^{3n+2}}{a^n}$

Применяем свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$x = a^{(3n+2)-n}$

Упростим выражение в показателе степени:

$x = a^{3n-n+2}$

$x = a^{2n+2}$

Следовательно, звёздочку нужно заменить на $a^{2n+2}$.

Проверим: $a^n \cdot a^{2n+2} = a^{n+(2n+2)} = a^{3n+2}$. Равенство выполняется.

Ответ: $a^{2n+2}$