Номер 248, страница 50 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 248, страница 50.

Условие.

248. Какой цифрой оканчивается значение выражения ($n$ — натуральное число):

1) $4^{100}$;

2) $3^{2n}$;

3) $4^n$;

4) $3^n$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Чтобы найти последнюю цифру значения выражения, нужно рассмотреть, как изменяется последняя цифра основания при возведении в натуральную степень, и найти закономерность (цикличность).

1) $4^{100}$

Найдем закономерность в последних цифрах степеней числа 4:

• $4^1 = 4$
• $4^2 = 16$ (оканчивается на 6)
• $4^3 = 64$ (оканчивается на 4)
• $4^4 = 256$ (оканчивается на 6)

Видно, что последние цифры степеней числа 4 циклически повторяются с периодом 2: (4, 6, 4, 6, ...).

Если показатель степени - нечетное число, то последняя цифра - 4.

Если показатель степени - четное число, то последняя цифра - 6.

В выражении $4^{100}$ показатель степени 100 является четным числом. Следовательно, значение выражения оканчивается на 6.

Ответ: 6

2) $3^{4n}$

Найдем закономерность в последних цифрах степеней числа 3:

• $3^1 = 3$
• $3^2 = 9$
• $3^3 = 27$ (оканчивается на 7)
• $3^4 = 81$ (оканчивается на 1)
• $3^5 = 243$ (оканчивается на 3)

Последние цифры степеней числа 3 циклически повторяются с периодом 4: (3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1, ...).

Показатель степени в выражении $3^{4n}$ равен $4n$. Поскольку $n$ - натуральное число ($n \in \{1, 2, 3, ...\}$), показатель $4n$ всегда будет кратен 4 (например, 4, 8, 12, ...).

Каждая степень числа 3 с показателем, кратным 4, оканчивается на 1. Следовательно, при любом натуральном $n$ значение выражения $3^{4n}$ будет оканчиваться на 1.

Ответ: 1

3) $4^n$

Как было установлено в пункте 1, последняя цифра степени числа 4 зависит от четности показателя степени $n$.

• Если $n$ - нечетное натуральное число (1, 3, 5, ...), то $4^n$ оканчивается на 4.
• Если $n$ - четное натуральное число (2, 4, 6, ...), то $4^n$ оканчивается на 6.

Таким образом, последняя цифра зависит от четности $n$.

Ответ: 4, если $n$ - нечетное; 6, если $n$ - четное.

4) $3^n$

Как было установлено в пункте 2, последние цифры степеней числа 3 повторяются с циклом длиной 4: (3, 9, 7, 1).

Последняя цифра значения выражения $3^n$ зависит от остатка от деления $n$ на 4.

• Если $n$ при делении на 4 дает остаток 1 (т.е. $n = 4k+1$, где $k$ - целое неотрицательное число), то $3^n$ оканчивается на 3.
• Если $n$ при делении на 4 дает остаток 2 (т.е. $n = 4k+2$), то $3^n$ оканчивается на 9.
• Если $n$ при делении на 4 дает остаток 3 (т.е. $n = 4k+3$), то $3^n$ оканчивается на 7.
• Если $n$ делится на 4 без остатка (т.е. $n = 4k$, где $k$ - натуральное число), то $3^n$ оканчивается на 1.

Таким образом, последняя цифра зависит от остатка от деления $n$ на 4.

Ответ: 3, если остаток от деления $n$ на 4 равен 1; 9, если остаток равен 2; 7, если остаток равен 3; 1, если $n$ кратно 4.