Номер 249, страница 50 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 249, страница 50.

Условие.

249. Какой цифрой оканчивается значение выражения (n - натуральное число):

1) $9^{2n}$,

2) $7^{4n}$,

3) $7^{2n}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $9^{2n}$

Чтобы определить последнюю цифру значения выражения $9^{2n}$, рассмотрим, какими цифрами оканчиваются степени числа 9. Например, $9^1=9$, $9^2=81$, $9^3=729$, $9^4=6561$. Видно, что последняя цифра степеней числа 9 циклически повторяется: 9, 1, 9, 1, и так далее. Если показатель степени — нечетное число, то последняя цифра — 9. Если показатель степени — четное число, то последняя цифра — 1. В выражении $9^{2n}$ показатель степени равен $2n$. Поскольку $n$ — натуральное число ($n = 1, 2, 3, \dots$), то $2n$ всегда является четным числом. Следовательно, значение выражения $9^{2n}$ всегда будет оканчиваться на 1. Другой способ решения — преобразовать выражение: $9^{2n} = (9^2)^n = 81^n$. Любая натуральная степень числа, оканчивающегося на 1, также будет оканчиваться на 1.

Ответ: 1.

2) $7^{4n}$

Рассмотрим последнюю цифру степеней числа 7. Первые несколько степеней: $7^1=7$, $7^2=49$, $7^3=343$, $7^4=2401$, $7^5=16807$. Последние цифры степеней числа 7 повторяются с периодом 4: 7, 9, 3, 1. В частности, любая степень числа 7 с показателем, кратным 4, оканчивается на 1 (например, $7^4$, $7^8$, $7^{12}$ и т.д.). В выражении $7^{4n}$ показатель степени равен $4n$. Так как $n$ — натуральное число, показатель $4n$ всегда будет кратен 4. Таким образом, значение выражения $7^{4n}$ всегда оканчивается на 1. Альтернативное решение: $7^{4n} = (7^4)^n = 2401^n$. Любая натуральная степень числа, оканчивающегося на 1, также оканчивается на 1.

Ответ: 1.

3) $7^{2n}$

Снова воспользуемся цикличностью последних цифр степеней числа 7 (7, 9, 3, 1). Показатель степени в выражении $7^{2n}$ равен $2n$, что является четным числом для любого натурального $n$. Рассмотрим, на какую цифру оканчиваются степени 7 с четным показателем. Если $n=1$, то $7^{2 \cdot 1} = 7^2 = 49$, оканчивается на 9. Если $n=2$, то $7^{2 \cdot 2} = 7^4 = 2401$, оканчивается на 1. Если $n=3$, то $7^{2 \cdot 3} = 7^6 = 117649$, оканчивается на 9. Как видно, последняя цифра зависит от четности числа $n$. Можно представить выражение в виде $7^{2n} = (7^2)^n = 49^n$. Последняя цифра степеней числа 49 зависит от показателя $n$: если $n$ — нечетное число ($1, 3, 5, \dots$), то $49^n$ оканчивается на 9; если $n$ — четное число ($2, 4, 6, \dots$), то $49^n$ оканчивается на 1. Поскольку в условии задачи $n$ — любое натуральное число, однозначного ответа на вопрос нет. Последняя цифра может быть как 9, так и 1.

Ответ: 9, если $n$ — нечетное число; 1, если $n$ — четное число.