Номер 245, страница 49 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 245, страница 49.

Условие.

245. Сравните значения выражений:

1) $2^{300}$ и $3^{200}$;

2) $4^{18}$ и $18^9$;

3) $27^{20}$ и $11^{30}$;

4) $3^{10} \cdot 5^8$ и $15^9$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Для сравнения чисел $2^{300}$ и $3^{200}$ приведем их к одинаковому показателю степени. Наибольший общий делитель для показателей 300 и 200 это 100.
Представим первое число: $2^{300} = 2^{3 \cdot 100} = (2^3)^{100} = 8^{100}$.
Представим второе число: $3^{200} = 3^{2 \cdot 100} = (3^2)^{100} = 9^{100}$.
Теперь сравним полученные выражения: $8^{100}$ и $9^{100}$. Так как основания степеней $8 < 9$, а показатели одинаковы и положительны, то $8^{100} < 9^{100}$.
Следовательно, $2^{300} < 3^{200}$.
Ответ: $2^{300} < 3^{200}$.

2) Для сравнения $4^{18}$ и $18^9$ приведем их к одинаковому показателю степени. Наибольший общий делитель для 18 и 9 это 9.
Преобразуем первое выражение: $4^{18} = 4^{2 \cdot 9} = (4^2)^9 = 16^9$.
Теперь сравним $16^9$ и $18^9$. Так как основания степеней $16 < 18$, а показатели одинаковы, то $16^9 < 18^9$.
Следовательно, $4^{18} < 18^9$.
Ответ: $4^{18} < 18^9$.

3) Сравним $27^{20}$ и $11^{30}$. Приведем степени к общему показателю. Наибольший общий делитель для 20 и 30 это 10.
Преобразуем первое выражение: $27^{20} = 27^{2 \cdot 10} = (27^2)^{10} = 729^{10}$.
Преобразуем второе выражение: $11^{30} = 11^{3 \cdot 10} = (11^3)^{10} = 1331^{10}$.
Сравним полученные выражения: $729^{10}$ и $1331^{10}$. Так как основания $729 < 1331$, то $729^{10} < 1331^{10}$.
Следовательно, $27^{20} < 11^{30}$.
Ответ: $27^{20} < 11^{30}$.

4) Сравним $3^{10} \cdot 5^8$ и $15^9$.
Преобразуем второе выражение, разложив основание на множители: $15^9 = (3 \cdot 5)^9 = 3^9 \cdot 5^9$.
Теперь необходимо сравнить $3^{10} \cdot 5^8$ и $3^9 \cdot 5^9$.
Вынесем за скобки общую часть $3^9 \cdot 5^8$ в каждом выражении.
Первое выражение: $3^{10} \cdot 5^8 = 3^{9+1} \cdot 5^8 = (3^9 \cdot 5^8) \cdot 3$.
Второе выражение: $3^9 \cdot 5^9 = 3^9 \cdot 5^{8+1} = (3^9 \cdot 5^8) \cdot 5$.
Мы сравниваем два произведения, у которых есть общий положительный множитель $(3^9 \cdot 5^8)$. Результат сравнения зависит от вторых множителей: 3 и 5.
Поскольку $3 < 5$, то и $(3^9 \cdot 5^8) \cdot 3 < (3^9 \cdot 5^8) \cdot 5$.
Следовательно, $3^{10} \cdot 5^8 < 15^9$.
Ответ: $3^{10} \cdot 5^8 < 15^9$.